Unterschiedstests

Statistik: Übungen

Author

Prof. Dr. Armin Eichinger

Published

23.11.2023

1 Aufgabe

Vollziehen Sie die Rechnungen aus den Beispielen der Vorlesung(sunterlagen) nach:

  • ⚙️🔩 Schrauben
  • 🍔 Fastfood
  • 💊 Medikament Adipositas
  • 🐁 Mäuse

Verwenden Sie R dazu als Taschenrechner.

2 Aufgabe

Nun wollen wir uns das Leben leichter machen und verwenden vorgefertigte Funktionen für die jeweiligen Tests. Den Gauß-Test aus dem Schrauben-Beispiel sparen wir uns. Der wird so selten verwendet, dass er es nicht in die Standardausstattung von R geschafft hat. Eine Extra-Bibliothek wollen wir dafür nicht einbinden.

Bekommen Sie keinen falschen Eindruck: Aus didaktischen Gründen ist der Test wichtig und händisch sollten Sie ihn beherrschen!

2.1 🍔 Fastfood

Gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Speichern Sie den Mittlwert der Population in der Variablen zuckergehalt_vermutet.
  2. Lesen Sie die csv-Datei “zuckergehalt.csv” ein und speichern Sie den DataFrame in der Variablen zuckergehalt_real_dfr. Die Datei finden sie hier
  3. Speichern Sie die Spalte “Zuckergehalt” des DataFrames in einer eigenen Variablen zuckergehalt_real.
  4. Verwenden Sie die Funktion t.test() mit drei Parametern: den Daten, dem benannten Parameter mu= für den Mittelwert der Population und dem benannten Parameter alternative=, der je nach Richtung des Tests einen der drei Zeichenketten-Werte "two.sided","less" oder "greater" annimmt.

Das Ergebnis sollte so aussehen:


    One Sample t-test

data:  zuckergehalt_real
t = 3.0668, df = 30, p-value = 0.002276
alternative hypothesis: true mean is greater than 20
95 percent confidence interval:
 20.62521      Inf
sample estimates:
mean of x 
     21.4

2.2 💊 Medikament Adipositas

Gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Wir haben die Rohdaten nicht vorliegen, daher erzeugen wir sie uns mit Hilfe des Zufallsgenerators in R selbst.
  2. Setzen Sie den Zufallssamen auf =123.
  3. Verwenden Sie die Funktion rnorm() mit den Werten aus der Aufgabenstellung für Stichprobengröße, Mittelwert und Standardabweichung. Das müssen Sie jeweils zweimal tun, da wir zwei Versuchsbedingungen haben. Speichern Sie die Ergebnisse geeignet in Variablen.
  4. Führen Sie den t-Test wie folgt durch: t.test(x1, x2, alternative="less",var.equal = TRUE). var.equal = TRUE gibt an, dass die Varianzen in den beiden Bedingungen in etwa gleich sind (Varianzhomogenität). Ist das nicht der Fall, sollten wir hier FALSE angeben (testen könnten wir das zum Beispiel über den Levene-Test; die entsprechenden Funktionen erfordern extra Bibliotheken). In diesem Fall wird eine besondere Variante des t-Tests durchgeführt; der Welch-Test.
  5. Speichern Sie das Ergebnis des Tests in der Variablen ttest_erg und geben Sie diese aus.
  6. Interpretieren Sie das Ergebnis. Beachten Sie, dass unser Ergebnis nicht dem aus der Vorlesung entspricht, weil wir andere Daten verwenden. Das erkennen wir unter anderem an den beiden Mittelwerten, die wir im Output sehen. Das sind nicht die Zahlen aus der Vorlesung.
  7. Bestimmen Sie die Stärke des ermittelten Effekts. Verwenden Sie dazu die Formel \[r = \sqrt\frac{t^2}{t^2+\textit{df}}\]
  8. Sie können auf die Teststatistik aus dem Ergebnis direkt zugreifen:
    • t: ttest_erg$statistic
    • df: ttest_erg$parameter
  9. Das Ergebnis r ist ein Korrelationskoeffizient, der Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann. Je größer der Wert, desto stärker der Effekt. Zur groben Einordnung:
    • r ~ 0.1 → kleiner Effekt
    • r ~ 0.3 → mittlerer Effekt
    • r ~ 0.5 → großer Effekt

Das Ergebnis des Tests sollte so aussehen:


    Two Sample t-test

data:  x1 and x2
t = -2.4396, df = 91, p-value = 0.008322
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -3.11302
sample estimates:
mean of x mean of y 
 123.2841  133.0480

Die Effektstärke beträgt 0.248. Wir haben es also mit einem kleinen Effekt zu tun.

2.3 🐁 Mäuse

Gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Wir haben in den zwei Versuchsbedingungen (mit Messwiederholung) die folgenden Daten:

    • Expression vor dem Treatment = 12, 11.75, 11.25, 10.5, 10
    • Expression nach dem Treatment = 11, 10, 10.50, 8.75, 9.75

  2. Speichern Sie die Daten mit c() jeweils in einer eigenen Variable.

    Im Vergleich zur Auswertung aus der vorigen Aufgabe unterscheidet sich der Aufruf der Funktion durch einen zusätzlichen benannten Parameter paired = TRUE; es handelt sich also um einen gepaarten t-Test.

  3. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus der Vorlesung.

Das Ergebnis sollte so aussehen:


    Paired t-test

data:  before_treat and after_treat
t = 3.773, df = 4, p-value = 0.01955
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.2905341 1.9094659
sample estimates:
mean difference 
            1.1

Anhang

SNV

Achtung: Die Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte

-.00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 -.06 -.07 -.08 -.09
0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233
-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

t-Verteilung

df 0.01 0.025 0.05 0.10 0.25 0.5 0.75 0.90 0.95 0.975 0.99
1 -31.8205 -12.7062 -6.3138 -3.0777 -1.0000 0 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205
2 -6.9646 -4.3027 -2.9200 -1.8856 -0.8165 0 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646
3 -4.5407 -3.1824 -2.3534 -1.6377 -0.7649 0 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407
4 -3.7469 -2.7764 -2.1318 -1.5332 -0.7407 0 0.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469
5 -3.3649 -2.5706 -2.0150 -1.4759 -0.7267 0 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649
6 -3.1427 -2.4469 -1.9432 -1.4398 -0.7176 0 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427
7 -2.9980 -2.3646 -1.8946 -1.4149 -0.7111 0 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980
8 -2.8965 -2.3060 -1.8595 -1.3968 -0.7064 0 0.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965
9 -2.8214 -2.2622 -1.8331 -1.3830 -0.7027 0 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214
10 -2.7638 -2.2281 -1.8125 -1.3722 -0.6998 0 0.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638
11 -2.7181 -2.2010 -1.7959 -1.3634 -0.6974 0 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181
12 -2.6810 -2.1788 -1.7823 -1.3562 -0.6955 0 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810
13 -2.6503 -2.1604 -1.7709 -1.3502 -0.6938 0 0.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503
14 -2.6245 -2.1448 -1.7613 -1.3450 -0.6924 0 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245
15 -2.6025 -2.1314 -1.7531 -1.3406 -0.6912 0 0.6912 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025
16 -2.5835 -2.1199 -1.7459 -1.3368 -0.6901 0 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835
17 -2.5669 -2.1098 -1.7396 -1.3334 -0.6892 0 0.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669
18 -2.5524 -2.1009 -1.7341 -1.3304 -0.6884 0 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524
19 -2.5395 -2.0930 -1.7291 -1.3277 -0.6876 0 0.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395
20 -2.5280 -2.0860 -1.7247 -1.3253 -0.6870 0 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280
21 -2.5176 -2.0796 -1.7207 -1.3232 -0.6864 0 0.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176
22 -2.5083 -2.0739 -1.7171 -1.3212 -0.6858 0 0.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083
23 -2.4999 -2.0687 -1.7139 -1.3195 -0.6853 0 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999
24 -2.4922 -2.0639 -1.7109 -1.3178 -0.6848 0 0.6848 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922
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26 -2.4786 -2.0555 -1.7056 -1.3150 -0.6840 0 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786
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