Máster en Dirección y Planificación Financiera UEMC
Actividad 2 - Selección y evaluación de carteras de inversión
Actividad 2: Asesoramiento en selección de carteras de inversión
Caso práctico 1: Evaluación de un fondo de renta variable asiática
Caso práctico 2: Inversión en dos fondos de renta variable y renta fija
Caso práctico 3: Cálculo de rentabilidad esperada y desviación estándar de una cartera de inversión
Caso práctico 1:solución
Ratio de Sharpe
\[ S_p = \frac{E_p - R_f}{\sigma_p} \]
Donde:
- \(E_p = 0{,}334\)
- \(R_f = 0{,}048\)
- \(\sigma_p = 0{,}278\)
Sustituyendo:
\[ S_p = \frac{0{,}286}{0{,}278} \approx 1{,}029 \]
Ratio de Sharpe: 1,029
Ratio de Treynor
\[ T_p = \frac{E_p - R_f}{\beta_p} \]
- \(E_p = 0{,}334\), \(R_f = 0{,}048\), \(\beta_p = 1{,}13\)
\[ T_p = \frac{0{,}286}{1{,}13} \approx 0{,}253 \]
Ratio de Treynor: 0,253
Alpha de Jensen
\[ \alpha_J = R_p - \left[ R_f + (E_m - R_f) \cdot \beta_p \right] \]
- \(R_p = 0{,}334\), \(R_f = 0{,}048\), \(E_m = 0{,}25\), \(\beta_p = 1{,}13\)
\[ \alpha_J = 0{,}334 - [0{,}048 + 0{,}22826] = 0{,}334 - 0{,}27626 = 0{,}0577 \]
Alpha de Jensen: 5,77 %
Tracking Error
\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{\sigma_p^2 - \beta_p^2 \cdot \sigma_m^2} \]
- \(\sigma_p = 0{,}278\), \(\beta_p = 1{,}13\), \(\sigma_m = 0{,}19\)
\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{0{,}07728 - 0{,}04608} = \sqrt{0{,}0312} \approx 0{,}1766 \]
Ratio de Información
\[ RI = \frac{\alpha_p}{\sigma_{\alpha,p}} = \frac{0{,}0577}{0{,}1766} \approx 0{,}327 \]
Ratio de información: 0,327
Medidas relativas vs absolutas
- Sharpe, Treynor y el ratio de información son medidas relativas: indican eficiencia en la relación rentabilidad/riesgo.
- El alpha de Jensen es una medida absoluta: cuantifica la rentabilidad adicional generada respecto al CAPM.
Tabla resumen de resultados
| Métrica | Valor | Interpretación |
|---|---|---|
| Ratio de Sharpe | 1,029 | Rentabilidad elevada por riesgo total |
| Ratio de Treynor | 0,253 | Rentabilidad por riesgo sistemático |
| Alpha de Jensen | 0,0577 | Rentabilidad absoluta generada (5,77 %) |
| Tracking Error | 0,1766 | Desviación respecto al índice |
| Ratio de Información | 0,327 | Rentabilidad adicional por unidad de error activo |
Conclusiones
- El fondo ha batido al mercado en todas las métricas analizadas.
- Alpha positivo indica valor añadido real por gestión activa.
- Se confirma la importancia de usar tanto medidas relativas como absolutas.
Caso práctico 2: solución
Rentabilidad esperada
\[ E_p = 0{,}3 \cdot 0{,}20 + 0{,}7 \cdot 0{,}05 = 0{,}095 \quad (9{,}5\%) \]
Volatilidad de la cartera
\[ \sigma_p = \sqrt{0{,}0081 + 0{,}000784 + 0{,}001764} \approx 0{,}1032 \quad (10{,}32\%) \]
Intervalo al 68 %
\[ [0{,}095 - 0{,}1032,\; 0{,}095 + 0{,}1032] = [-0{,}0082,\; 0{,}1982] \]
Intervalo estimado al 68 %: entre -0,82 % y 19,82 %
Visualización de la distribución normal de rentabilidad esperada
¿Qué representa este gráfico?
La distribución normal es una herramienta fundamental en finanzas. Permite modelizar el comportamiento de las rentabilidades de una cartera bajo el supuesto de que los rendimientos siguen un patrón simétrico en torno a una media.
- La línea azul oscuro representa la curva de densidad de la distribución normal, que modeliza las posibles rentabilidades de la cartera.
- El área sombreada en amarillo indica el 68 % de probabilidad, es decir, el intervalo que abarca una desviación típica por encima y por debajo de la media.
- La línea roja discontinua marca la rentabilidad esperada de la cartera, que en este caso es del 9,5 %.
Este gráfico permite al asesor financiero mostrar de forma clara y visual cuáles son los resultados más probables de la inversión, incluyendo también el riesgo de obtener rendimientos inferiores a la media.
Resulta especialmente útil para:
- Visualizar la incertidumbre inherente a las decisiones de inversión.
- Explicar al cliente distintos escenarios posibles, más allá del rendimiento medio.
- Ajustar expectativas de forma realista, mostrando tanto oportunidades como riesgos.
- Justificar las recomendaciones con base en criterios objetivos y cuantificables.
En definitiva, el uso de la distribución normal como herramienta de análisis contribuye a una comunicación más efectiva y profesional con el inversor, facilitando una toma de decisiones más informada y consciente.
Caso práctico 3: solución
Rentabilidad esperada
Para calcular la rentabilidad esperada \(E_p\) de una cartera con \(n\) activos, aplicamos la fórmula:
\[ E_p = \sum_{i=1}^n w_i \cdot E_i \]
Sustituyendo los datos:
\[ E_p = 0{,}50 \cdot 0{,}04 + 0{,}40 \cdot 0{,}09 + 0{,}10 \cdot 0{,}02 = 0{,}058 \quad (5{,}8\%) \]
Volatilidad con \(\rho = 0{,}3\)
La varianza de una cartera con tres activos se calcula, en general, como:
\[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} (w_i \cdot \sigma_i)^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} w_i \cdot w_j \cdot \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij} \]
En este caso, asumimos correlación únicamente entre Renta Fija (RF) y Renta Variable (RV). La correlación con la Liquidez (L) se considera nula. Esto nos permite simplificar la fórmula a:
\[ \sigma_p^2 = (w_{RF} \cdot \sigma_{RF})^2 + (w_{RV} \cdot \sigma_{RV})^2 + (w_{L} \cdot \sigma_{L})^2 + 2 \cdot w_{RF} \cdot w_{RV} \cdot \sigma_{RF} \cdot \sigma_{RV} \cdot \rho \]
Sustituimos con los valores conocidos:
- \(w_{RF} = 0{,}50\), \(\sigma_{RF} = 0{,}05\)
- \(w_{RV} = 0{,}40\), \(\sigma_{RV} = 0{,}12\)
- \(w_{L} = 0{,}10\), \(\sigma_{L} = 0{,}005\)
- \(\rho = 0{,}3\)
\[ \sigma_p^2 = (0{,}50 \cdot 0{,}05)^2 + (0{,}40 \cdot 0{,}12)^2 + (0{,}10 \cdot 0{,}005)^2 + 2 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}3 \]
Desglosando los términos:
- \((0{,}50 \cdot 0{,}05)^2 = 0{,}000625\)
- \((0{,}40 \cdot 0{,}12)^2 = 0{,}002304\)
- \((0{,}10 \cdot 0{,}005)^2 = 0{,}00000025\)
- \(2 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}3 = 0{,}00072\)
Entonces:
\[ \sigma_p^2 = 0{,}000625 + 0{,}002304 + 0{,}00000025 + 0{,}00072 = 0{,}003649 \]
Y su raíz cuadrada:
\[ \sigma_p = \sqrt{0{,}003649} \approx 0{,}0604 \quad \text{(6,04 %)} \]
Volatilidad con \(\rho = 0{,}6\)
Si la correlación entre RF y RV aumenta, se reduce el efecto de la diversificación:
\[ \sigma_p^2 = 0{,}000625 + 0{,}002304 + 0{,}00000025 + 2 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}6 \]
El término de covarianza ahora es:
\[ 2 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}6 = 0{,}00144 \]
Entonces:
\[ \sigma_p^2 = 0{,}000625 + 0{,}002304 + 0{,}00000025 + 0{,}00144 = 0{,}004369 \]
Y finalmente:
\[ \sigma_p = \sqrt{0{,}004369} \approx 0{,}0661 \quad \text{(6,61 %)} \]
¿Debe incluirse la liquidez en el cálculo de la varianza?
La respuesta es sí: aunque el activo “liquidez” tenga una correlación nula con el resto de activos, su varianza individual debe incluirse en el cálculo de la varianza total de la cartera. Esto se debe a que la varianza de una cartera no solo depende de las covarianzas entre activos, sino también de las varianzas propias de cada uno.
La fórmula general de la varianza para una cartera de tres activos es:
\[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{3} (w_i \cdot \sigma_i)^2 + \sum_{i=1}^{3} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{3} w_i \cdot w_j \cdot \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij} \]
Si se considera que la liquidez es independiente (es decir, \(\rho_{i,L} = 0\) para todo \(i\)), entonces sus términos de covarianza se eliminan de la expresión, pero su varianza permanece.
Por tanto, la expresión se simplifica a:
\[ \sigma_p^2 = (w_{RF} \cdot \sigma_{RF})^2 + (w_{RV} \cdot \sigma_{RV})^2 + (w_{L} \cdot \sigma_{L})^2 + 2 \cdot w_{RF} \cdot w_{RV} \cdot \sigma_{RF} \cdot \sigma_{RV} \cdot \rho \]
Donde:
- \(w_{L}\) es la ponderación del activo liquidez
- \(\sigma_{L}\) es su desviación típica
- No hay términos de covarianza con liquidez por hipótesis de independencia
Esto es coherente con la literatura académica. Por ejemplo:
En resumen, aunque la liquidez no esté correlacionada con el resto de activos, su riesgo propio sigue contribuyendo al riesgo global de la cartera, y no debe omitirse del cálculo.
Este desarrollo permite visualizar con precisión cómo el incremento en la correlación entre activos eleva el riesgo total de la cartera, lo cual es crucial al asesorar sobre diversificación y gestión del riesgo.
Estos cálculos muestran con claridad cómo a mayor correlación entre activos, mayor es el riesgo global de la cartera, al disminuir los efectos positivos de la diversificación.
Análisis visual y cuantitativo del efecto de la correlación
A continuación, se muestra una tabla resumen con diferentes niveles de correlación entre renta fija y renta variable, y cómo esta afecta a la volatilidad estimada de la cartera.
| Correlación..ρ. | Volatilidad.cartera.... |
|---|---|
| -1.0 | 2.30 |
| -0.5 | 4.16 |
| 0.0 | 5.41 |
| 0.3 | 6.04 |
| 0.6 | 6.61 |
| 1.0 | 7.30 |
