Chapter 1 随机事件与概率

1.0节：基础知识(公众号：i44统计考研)

  1. 关于第一小节的内容，重点记忆（b）-(e)的内容，这些公式对于后期求数字特征（如：数学期望）等有很大用处。

  2. 关于第二小节的内容（常见函数），重点记忆积分结果，这些内容可大大简化积分运算。

  3. 关于第三小节的内容（求和公式），这些公式了解即可，但自己一定要回忆一下高中的等比数列相关内容，这些在递推法（差分方程）中常用到，如茆诗松1.4节课后21-25题。

  4. 关于第四小节的内容（组合公式），（a）是二项式公式，需掌握，（b）和(c)了解即可。

  5. 关于第五小节的内容（泰勒展式），重点记忆（b）的内容，其他了解即可。

  6. 关于第六小节的内容（斯特林公式），了解即可。

  7. 关于第七小节的内容，重点记忆结果，尤其是备考清华大学应统的同学，一定要记住结果，证明过程了解即可。

1.1 随机事件及其运算(公众号：i44统计考研)

1.1.1 知识串讲

1.1节内容比较基础，需掌握随机现象、样本空间、随机事件和随机变量的定义，需要特别注意维恩图，对于我们做选择题和填空题很有帮助。

1.1.5事件间的关系与1.1.6事件的运算为重点内容，可以在给大家整理的补充的内容找到整理的概率论与集合论的对应关系，其中对立事件比较重要，在后期求一些事件的概率较难时，通常是先求对立事件的概率，再求其概率。另外，事件的运算性质需要全部掌握。

1.1.7 事件域了解即可。

1.1.2 课本重难点习题

例1.1.7，例1.1.9

1.1.3 课后重难点习题

3，4，7，8，10.

1.2 概率的定义及其确定方法(公众号：i44统计考研)

1.2.1 知识点串讲

1.2.1 概率的公理化定义需熟悉；

1.2.2 排列与组合公式，这部分为高中的内容，若想深入了解排列与组合，可找组合数学的参考书，在使用排列与组合公式时，一定要注意是否需要考虑顺序以及是否重复。另外，这一节，给大家补充了讲述证明的内容，可在23统计资料群QQ群，群文件“茆第一章补充内容与补充习题”找到，这些内容供大家了解，这些在证明一些排列与组合公式时，很方便。

1.2.3 确定概率的频率方法，需掌握其基本思想；

1.2.4 确定概率的古典方法，为本节重要内容，需熟悉。注意其基本思想：样本点有限和等可能性，例1.2.3-例1.2.7为重要例题，

1.2.5 确定概率的几何方法，为本节重要内容，注意几何度量，长度，面积和体积，在做几何概率的题目时，一定要做图，通过设事件等方式，将实际问题转换为数学问题，进而求解。

重要例题：例1.2.8 （2019厦大）；例1.2.9 （2012中科院），本题同课后25题总结到一起；例1.2.10（2013北大），注意这道题我给大家补充得到另外两道题的讲解。

1.2.6 确定概率的主观方法，了解即可。

1.2.2 课后重难点题目

1（注意本题我给大家用讲述证明的方法讲解的做题过程），5，11（2018复旦、浙工商），14（注意我给大家的补充习题），15，16，17（2014南开），19（2013南开），22，24（2021中科大），25（2020复旦），31（2020上交），32

  1. 例 1.2.7 (生日问题) \(n\) 个人的生日全不相同的概率 \(p_{n}\) 是多少?

  2. 例 1.2.8 (会面问题) 甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一个人 20min, 过时即可离去. 求两人能会面的概率.

    1. (补充习题)两人约好于某一天早晨8时到9时在某地会面，并约定先到者等候另一人30分钟才可离开，已知两人会上面了，求先到者等候另一人超过20分钟的概率？(2015兰大)

  3. 例 1.2.9 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为 \(d (d > 0)\) 的等距平行线, 向平面任意投掷一枚长为 \(l (l<d)\) 的针, 求针与任一平行线相交的概率.

  4. 例1.2.10 在长度为 a 的线段内任取两点将其分为三段, 求它们可以构成一个三角形的概率.

    1. (补充习题) 长为 1 的木棒截取一截, 再将剩下的部分截为两段，求这三段木棒能构成三角形的概率.(2017北大)
    2. (补充习题) 在线段 \([0, a]\) 上随机地投三点, 试求由点 \(O\) 至三点的三个线段能构 成一个三角形的概率.

  5. (1.2.1)对于组合数 \(\binom{n}{r}\), 证明

    1. \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n - r}\);
    2. \(\binom{n}{r} = \binom{n - 1}{r - 1} + \binom{n - 1}{r}\);
    3. \(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dotsb + \binom{n}{n} = 2^n\);
    4. \(\binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + \dotsb + n\binom{n}{n} = n 2^{n-1}\);
    5. \(\binom{a}{0} \binom{b}{n} + \binom{a}{1} \binom{b}{n - 1} + \dotsb + \binom{a}{n} \binom{b}{0} = \binom{a + b}{n}\), \(n = \min(a,b)\);
    6. \(\binom{n}{0} ^2 + \binom{n}{1} ^2 + \dotsb + \binom{n}{n} ^2 = \binom{2n}{n}\).

  6. (1.2.2)抛三枚硬币, 求至少出现一个正面的概率.（2020东师）

  7. (1.2.5)考虑一元二次方程 \(x^2 + Bx + C = 0\), 其中 \(B\), \(C\) 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数, 求该方程有实根的概率 \(p\) 和有重根的概率 \(q\).

  8. (1.2.9)甲口袋有5个白球、3个黑球, 乙口袋有4个白球、6个黑球. 从两个口袋中各任取一球, 求取到射两个球颜色相同的概率.（2014东师）

  9. (1.2.10)从 \(n\) 个数 \(1, 2, \cdots, n\) 中任取2个, 问其中一个小于 \(k (1 < k < n)\), 另一个大于 \(k\) 的概率是多少?（2015东师）

  10. (1.2.11)口袋中有 10 只球, 分别标有号码 1 到 10, 从中不返回地任取 3 只, 记下取出球的号码, 试求(2018复旦、浙工商):

    1. 最小号码为5的概率;
    2. 最大号码为5的概率.

  11. (1.2.14)\(n\) 个人随机地围一圆桌而坐, 求甲、乙两人相邻而坐的概率.

    1. （补充习题）\(n\) 个人排成一个环形,问指定的甲、乙两人间有 \(k\) 个人(依顺时针方向计数）的概率有多大?

  12. (1.2.15)同时掷 5 枚骰子,观察点数，试证明:

    1. \(P\) (每枚都不一样) \(=0.0926\);
    2. \(P(\) 仅有一对一样 \()=0.4630\);
    3. \(P\) (有两对一样) \(=0.2315\);
    4. \(P(\) 三枚一样 \()=0.1543\);
    5. \(P\) (四枚一样) \(=0.0193\);
    6. \(P\) (五枚一样) \(=0.0008\).

  13. (1.2.16)一个人把六根草紧在手中, 仅露出它们的头和尾, 然后随机地把六个头两两相接, 六个尾也两两相接. 求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.

  14. (1.2.17)把 \(n\) 个“0”与 \(n\) 个“1”随机地排列, 求没有两个“1”连在一起的概率.（2014南开）

  15. (1.2.19)\(n\) 个男孩, \(m\) 个女孩 (\(m \le n + 1\)) 随机地排成一排, 试求任意两个女孩都不相邻的概率.（2013南开）

    1. （补充习题）\(n\) 个男孩, \(m\) 个女孩 (\(m \le n + 1\)) 随机地排成一圈, 试求任意两个女孩都不相邻的概率.

  16. (1.2.22) 将 \(n\) 个完全相同的球 (这时也称球是不可辨的) 随机地放入 \(N\) 个盒子中, 试求:

    1. 某个指定的盒子中恰好有 \(k\) 个球的概率;
    2. 恰好有 \(m\) 个空盒的概率;
    3. 某个指定的 \(m\) 个盒子中恰好有 \(j\) 个球的概率.

  17. (1.2.24)甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头, 它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中任何一般都不需要等候码头空出的概率是多少?（2021中科大学）

  18. (1.2.25)在平面上画有间隔为 \(d\) 的等距平行线, 向平面任意投掷一个边长为 \(a\), \(b\), \(c\) (均小于 \(d\)) 的三角形, 求三角形与平行线相交的概率.（2020复旦）

  19. (1.2.31) 某数学家有两盒火柴, 每盒都有 \(n\) 根. 每次使用时,他任 取一盒并从中抽出一根. 问他发现一盒空而另一盒还有 \(r(0 \leqslant r \leqslant n)\) 根的概率 是多少?（2020上交）

1.3 概率的性质（公众号：i44统计考研）

1.3.1 知识点串讲

概率的正则性和性质1.3.1比较重要，但反之未必成立，即概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件；

1.3.1 概率的可加性

需掌握性质1.3.2证明过程，注意性质1.3.3特别重要，有些事件的概率较难求，通常是先求其对立事件的概率，进而计算该事件的概率；

1.3.2 概率的单调性

需牢记性质1.3.4和性质1.3.5结果，注意概率的单调性在第四章收敛性证明过程经常用。

1.3.3 概率的加法公式

需牢记性质1.3.6以及半可加性的结果；例1.3.6（配对问题）相当重要，本题同3.4节课后25题总结到一起，以及本节的课后14题，注意14题我有补充其他的题目，务必要听。

1.3.4 概率的连续性

了解即可

1.3.2 课本重难点题目

例1.3.3 （2011南开）、例1.3.4（2019兰大）、例1.3.5、例1.3.6（2007中科大）

1.3.3 课后重难点题目

2，8-11，14-15，17-23（注意23题我给大家补充的取等号的条件），25（2020复旦、南开），26

  1. （例 1.3.3） 口袋中有编号为 \(1,2, \cdots, n\) 的 \(n\) 个球, 从中有放回地任取 \(m\) 次, 求取出的 \(m\) 个球的最大号码为 \(k\) 的概率.（2011南开）

  2. （例 1.3.4） 已知事件 \(A, B, A \cup B\) 的概率分别为 \(0.4,0.3,0.6\). 求 \(P(A \bar{B})\).（2019兰大）

  3. （例 1.3.5） 已知 \(P(A)=P(B)=P(C)=1 / 4, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=1 / 16\). 则 \(A, B, C\) 中至少发生一个的概率是多少? \(A, B, C\) 都不发生的概率是多少?

  4. （例 1.3.6）在一个有 \(n\) 个人参加的晩会上, 每个人带了一件礼物, 且假 定各人带的礼物都不相同.晚会期间各人从放在一起的 \(n\) 件礼物中随机抽取一件, 试求：

    1. 至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少?
    2. 恰有k个人自己抽到自己礼物的概率是多少

  5. （1.3.14）某班 \(n\) 个战士各有 1 支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中,每人随机地取了 1 支枪, 求（2020中科院）

    1. 至少有 1 人拿到自己的枪的概率;
    2. 恰好有 \(k(0 \leqslant k \leqslant n)\) 个人拿到自己的枪的概率.

  6. 把两付扑克牌分别洗匀后，放成两堆，然后自上而下一一翻看。比 较两付扑克牌的第 k 张 \((k=1, \ldots, 52)\) 是否相同，如果相同，则称为一个配对。在翻看这两付扑克牌中，求（2007中科大学）

    1. 一个配对也没有的概率 \(p_{0}\).
    2. 恰有一个配对的概率 \(p_{1}\).
    3. 恰有 \(m\) 个配对的概率 \(p_{m}\).

  7. （1.3.8）从数字1, 2, , 9中可重复地任取 \(n\) 次, 求 \(n\) 次所取数字的乘积能被10整除的概率.

  8. （1.3.9）口袋中有 \(n-1\) 个黑球和 1 个白球, 每次从口袋中随机地摸出一球, 并换入一只黑球. 问第 \(k\) 次摸球时, 摸到黑球的概率是多少?（2014南开）

  9. （1.3.10）若 \(P(A)=1\), 证明: 对任一事件 \(B\), 有 \(P(A B)=P(B)\).

  10. （1.3.11）掷 \(2n+1\) 次硬币, 求出现的正面数多于反面数的概率.

  11. （1.3.15）设 \(A\), \(B\) 是两事件, 且 \(P(A) = 0.6\), \(P(B) = 0.7\),

    1. 在什么条件下 \(P(AB)\) 取到最大值, 最大值是多少?
    2. 在什么条件下 \(P(AB)\) 取到最小值, 最小值是多少?

  12. 设 \(P(A)=0.5, P(B)=0.6\) 。试求:

    1. \(P(A \cap B)\) 分别在什么条件下取得最大值和最小值, 其值各为多少?
    2. \(P(A \cup B)\) 分别在什么条件下取得最大值和最小值, 其值各为多 少?（厦门大学 2012）

  13. （1.3.17）已知 \(P(A) = 0.7\), \(P(A-B) = 0.4\), 试求 \(P(\overline{AB})\).（2014南开、2022兰大）

  14. (1.3.19)对任意的事件\(A\),\(B\),\(C\),证明:

    1. \(P (AB) + P (AC) - P (BC) \le P (A)\),
    2. \(P (AB) + P (AC) + P (BC) \ge P (A) + P (B) + P (C) - 1\).

  15. （1.3.20）设 \(A\), \(B\), \(C\) 为三个事件, 且 \(P(A) = a\), \(P(B) = 2a\), \(P(C) = 3a\), \(P(AB) = P(AC) = P(BC) = b\), 证明: \(a \le 1/4\), \(b \le 1/4\).

  16. （1.3.21）设事件 \(A\), \(B\), \(C\) 的概率都是1/2, 且 \(P(ABC) = P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})\), 证明: \[ 2P(ABC) = P(AB) + P(AC) + P(BC) - 1/2. \]

  17. （1.3.22） 证明:

    1. \(P(AB) \ge P(A) + P(B) - 1\),
    2. \(P(A_1 A_2 \dotsb A_n) \ge P(A_1) + P(A_2) + \dotsb + P(A_n) - (n-1)\).

  18. （1.3.23） 证明 : \(|P(A B)-P(A) P(B)| \leqslant \frac{1}{4}\),并讨论等号成立的条件.

  19. （1.3.25） 甲掷硬币 \(n+1\) 次,乙掷 \(n\) 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的 概率.（2020南开、复旦）

  20. （1.3.26） 甲掷硬币 \(n+1\) 次,乙掷 \(n\) 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的 概率.

1.4 条件概率（公众号：i44统计考研）

1.4.1 知识点串讲

1.4.1 条件概率的定义

需掌握定义1.4.1，注意性质1.4.1中条件概率是概率，仍满足概率的公理化定义；

1.4.2 乘法公式

需掌握性质1.4.2，

1.4.3 全概率公式和 1.4.4 贝叶斯公式

这两小节经常考，通常第一问是利用全概率公式，第二问利用贝叶斯公式，故这两个公式要掌握。

1.4.2 课本重难点题目

例1.4.4，例1.4.5，例1.4.7（2006中科院，2017北大），例1.4.8（2019南开）

1.4.3 课后重难点题目

4（2011中山、2013南开），8，9，11（2015南开），13（2018北大），14，18（2014南开），19，21-25为本节难点题目，即递推法（差分方程）解题，可重点听一听第22题的讲解过程，22（2018上交），23（2021中科大），24（2019复旦、2014上财），26（2009中科大、2021南开），27（2018中科大、复旦），28-33（2020兰大）

  1. 例1.4.4，例1.4.7

  2. (例1.4.5) 设在 \(n\) 张彩票中有一张可中奖.求第二人摸到中奖彩票的概率是多少?

  3. (例1.4.8)某地区居民的肝癌发病率为 \(0.0004\), 现用甲胎蛋白法进行普查. 医学研 究表明, 化验结果是可能存有错误的. 已知患有肝癌的人其化验结果 \(99 \%\) 呈阳性(有 病),而没患肝癌的人其化验结果 \(99.9 \%\) 呈阴性 (无病). 现某人的检查结果呈阳性, 问 他真的患肝癌的概率是多少?

  4. (1.4.4) 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5.问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?(2011中山、2013南开)

  5. (1.4.9) 已知\(P(\bar A)=0.3,P(B)=0.4,P(A\bar B)=0.5\)，求\(P(B|A\cup \bar B)\).（2021西北）

  6. (1.4.11) 口袋中有1只白球，1只黑球.从中任取1只，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1只黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率(2015南开).

    1. 取到第\(n\)次，试验没有结束；
    2. 取到第n次，试验恰好结束.

  7. (1.4.12) 一盒晶体管中有8只合格品、4只不合格品.从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率.（2016东师）

  8. (1.4.13) 甲口袋有\(a\)只黑球、\(b\)只白球，乙口袋有\(n\)只黑球、\(m\)只白球.（2018北大）

    1. 从甲口袋任取1只球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1只球.试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.
    2. 从甲口袋任取2只球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1只球.试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.

  9. (1.4.14) 有 \(n\) 个口袋, 每个口袋中均有 \(a\) 个白球、 \(b\) 个黑球. 从第一个口袋中任取 一球放人第二个口袋, 再从第二个口袋中任取一球放人第三个口袋, 如此下去, 从第 \(n-1\) 个口袋中任取一球放入第 \(n\) 个口袋.

    1. 最后从第 \(n\) 个口袋中任取一球, 求此时取到的是白球的概率.（2018兰大）
    2. 记在这n次取球中所取得的白球总数为S，求ES。

  10. (1.4.16) 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍(2016兰大).

    1. 求任取一个零件是合格品的概率.
    2. 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.

  11. (1.4.17) 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然而从该箱中任取两个零件，试求

    1. 第一次取出的零件是一等品的概率；
    2. 在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.

  12. (1.4.18) 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测.现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

    1. 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是\(1/2\).
    2. 学生知道正确答案的概率是0.2.

  13. (1.4.19) 已知男人中有 \(5 \%\) 是色盲患者, 女人中有 \(0.25 \%\) 是色盲患者, 今从男女 比例为 \(22: 21\) 的人群中随机地挑选一人, 发现恰好是色盲患者, 问此人是男性的 概率是多少?

    1. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色育患者，问此人是男性的概率是多少?

  14. (1.4.22) \(m\)个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余\(m-1\)个人中的任何一个.求第\(n\)次传球时仍由甲传出的概率.(2018上交)

  15. (1.4.23) 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷.每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷.试求第\(n\)次由甲掷的概率.(2021中科大)

  16. (1.4.24) 甲口袋有1只黑球、2只白球，乙口袋有3只白球.每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋.求交换\(n\)次后，黑球仍在甲口袋中的概率.(2019复旦、上财)

    1. 甲袋中有 \(N-1\) 只白球和 1 只黑球, 乙袋中有 \(N\) 只白球, 每次从甲、乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去. 这样 经过了 \(n\) 次, 问黑球出现在甲袋中的概率是多少, 并讨论 \(n \rightarrow \infty\) 时的情况.

  17. (1.4.26)设罐中有\(b\)个黑球、\(r\)个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加人\(c(>0)\)个同色的球.试证：第\(k\)次取到黑球的概率为\(b/(b+r),k=1,2,\cdots\).（2021南开）

  18. (2009中科大) 袋中有 b 个黑球， r 个红球。从中任取一个记下其颜色，然后再将 其放回袋中，并放入 c 个与取到的球颜色相同的球。此后，再从袋中任取一球，问

    1. 第一次取出的球是黑的，第二次取出的仍是黑球的概率是多少?
    2. 如果将上述手续进行 \(n\) 次，取出的正好是 \(n_{1}\) 个黑球, \(n_{2}\) 个红球 \(\left(n_{1}+n_{2}=n\right)\) 的概率是多少?
    3. 用数学归纳法证明任: 何一次取得黑球的概率都是 \(\frac{b}{b+r}\).
    4. 若已知第二次取出的球是黑球，求第一次取出的球也是黑球的概率。

  19. (1.4.27) 口袋中有a个白球，b个黑球和n个红球，现从中一个一个不放回地取球。试证白球比黑球出现得早的概率为\(\frac{a}{a+b}\),与n无关。(2018中科大、复旦)

  20. (1.4.28) 设\(P(A)>0\)，试证 \[ P(B|A) \ge 1 - \frac{P(\bar B)}{P(A)}. \]

  21. (1.4.31) 若\(P(A|B)>P(A|\bar B)\)，试证\(P(B|A)>P(B|\bar A)\).

  22. (1.4.33) 若 \(P(A \mid B)=1\), 证明 \(: P(\bar{B} \mid \bar{A})=1\).（2020兰大）

1.5 独立性(公众号：i44统计考研)

1.5.1 知识点串讲

1.5.1 两个事件的独立性

注意考试的时候一定要利用定义1.5.1去判断独立性，不要凭自己的直觉去判断，很容易出错。需掌握性质1.5.1的结论。

1.5.2 多个事件的相互独立性

注意多个事件相互独立时，需满足1.5.4里面的所有等式，而不仅仅是最后一个。

1.5.3 试验的独立性

需掌握定义1.5.4

1.5.2 课本重难点题目

例1.5.2-例1.5.3，例1.5.5（2019中山、中科院），例1.5.6（注意串联对应的是事件的交，并联对应的是事件的并），串并联系统通常在生存分析里出现，可参考3.4节课后13题，本题就是串并联系统。

1.5.3 课后重难点题目

1（2016复旦），3（2017南开、2018北大），9，11（1996数四），19（2017中山，2021北师），20，21，23（2015中科大、2020北师大），24（2013浙工商，2021兰大），26（注意本题我给大家补充的题目），27

  1. (例1.5.5) 有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为\(\alpha\)，乙命中目标的概率为\(\beta\).甲先射，谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?（2019中山）

  2. 例1.5.6

  3. (1.5.1) 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为\(1/5\)，\(1/4\)，\(1/3\)，求此密码被译出的概率.（2016复旦）

  4. (1.5.3) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.（2017南开）

  5. (1.5.9) 设\(A,B,C\)两两独立，且\(ABC=\varnothing\)（2018兰大）.

    1. 如果\(P(A)=P(B)=P(C)=x\)，试求\(x\)的最大值；
    2. 如果\(P(A)=P(B)=P(C)<1/2\)，且\(P(A\cup B\cup C)=9/16\)，求\(P(A)\).

  6. (1.5.19) 甲、乙两选手进行乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利?（2021北师）

  7. (1.5.20) 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军.而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.

  8. (1.5.21) 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本.但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

    1. 甲、乙两个赌徒都各需赢\(k\)局才能获胜；
    2. 甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜；
    3. 甲赌徒还需赢\(n\)局才能获胜，乙赌徒还需赢\(m\)局才能获胜.

  9. (1.5.23) 设\(0<P(B)<1\)，试证事件\(A\)与\(B\)独立的充要条件是 \[ P(A|B) = P(A|\bar B). \]

  10. (1.5.24) 设\(0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(\bar A|\bar B)=1\)，试证\(A\)与\(B\)独立.（2013浙工商、2021兰大）

  11. (1.5.26) 概率为 0 或 1 的事件和任何事件都独立。