Capítulo 1 Operaciones con expresiones algebraicas
1.1 Adición y sustracción
Las expresiones que contienen literales se denominan expresiones algebraicas. Pueden ser monomios (un solo término) o polinomios (muchos términos). En particular, cuando un polinomio consta únicamente de dos términos se llama binomio. Por ejemplo, \(3x^2 + 3\) es un binomio y \(\frac{5}{t} + 2y^5 + 1\) es un polinomio que, al tener tres términos, también puede llamarse trinomio.
Ejemplo. Hacer la suma de polinomios siguiente: \[\begin{eqnarray*} & 4x - 7y +z \\ & \underline{3x-3y-7z}\\ \end{eqnarray*}\] Para resolver este ejercicio primero identificamos términos semejantes. Estos son aquellos que tienen las mismas literales con los mismos exponentes aún cuando los coeficientes numéricos sean distintos. Por ejemplo, el monomio \(2k^4\) es semejante a \(k^4 2\). Así, al sumar los coeficientes y mantener las literales tenemos lo siguiente:\(4+3 = 7\)
\(-7-3 = -10\)
\(1-7 = -6\)
De donde se sigue que \[\begin{eqnarray*} 4x - 7y +z \\ \underline{3x-3y-7z}\\ 7x-10y-6z\\ \end{eqnarray*}\] Otra manera en la que se suelen hacer estas sumas es de forma lineal. Se inicia agrupando términos semejantes, y luego se usa el hecho de que \((+)(-)= (-)\), y así \[\begin{eqnarray*}(4x - 7y +z)+(3x-3y-7z)&=& (4x+3x) + (-7y-3y) + (z-7z)\\ &=& 7x + (-10y) + (-6z)\\ &=& 7x - 10y - 6z. \end{eqnarray*}\]
1.1.1 Ejercicios
- Hacer la suma de los polinomios siguientes: \(x^2 + y^2 -z^3\) y \(x^2 - 2y^2 + 3z^3\).
- Resuelve la operación \(2ax^2 - 8m + 3ax^2 + 5m.\)
- Realiza la siguiente suma de polinomios \((4m + 3n - 2p) + (5n - 3m + 3p) + (2p - 3n +m).\)
- \((3f + 2k)- (4k-f+3)\)
-
\(\frac{3}{4}x^4 - x^4\)
Sugerencia 1: Acomoda los sumandos como en los ejemplos.
Sugerencia 2: Siempre puedes sumar (restar) un factor de 0, por ejemplo: \[3f + 2k = 3f + 2k + 0 =3f + 2k + 0*(lo.que.sea)\].
Sugerencia 3: Recuerda las leyes de los signos: \[(+)(-)= (-)\] \[(-)(+)= (-)\] \[(+)(+)= (+)\]
1.2 Multiplicación
Cuando se multiplican dos expresiones que tienen la misma base pero distintos coeficientes, estos se suman. Por ejemplo
- \(q^n * q^m = q^{n+m}\)
- \(n^{-4}* 3n^2 = 3n^{-4+2}=3n^2\)
Observa primero que se multiplica elemento a elemento. Además de que se mantiene la base (o sea la letra) y se suman los coeficientes.
Ejemplo 1. Realizar la siguiente multiplicación: \(-3 a^2 b * 4a^2 b\)
Para resolver este ejercicio primero debemos mirar qué literales aparecen y si estas tienen coeficiente o no. En este caso no aparece coeficiente para \(b\), por lo que se usa el hecho de que \(b=b^1\). Así, se tiene que \[-3 a^2 b * 4a^2 b = -12a^{2+2} b^{1+1} = -12a^4 b^2\] Nota que multiplicas los coeficientes como se hace habitualmente, es decir \(-3*4 = -12\), y colocas el resultado como el coeficiente del producto.
Ejemplo 2. Efectuar la multiplicación \((4rm) (-m^2)\)
Primero observa que solo la \(m\) aparece en ambos factores. Esto simplifica el trabajo porque así se tiene que \[(4rm) (-m^2)= -4rm^{1+2} = -4rm^3\]
Una propiedad muy importante dentro del las estructuras numéricas, con la que posiblemente estés familiarizado, es la distribución del producto con respecto a la suma. Esta propiedad es conmutativa, lo que significa qué se vale por la izquierda o por la derecha. Esto es: \[a(b+c) = (b+c)a.\]
1.3 División de polinomios
Recordemos que al tener una potencia positiva de alguna variable ésta se multiplica tantas veces como indica la potencia. Por ejemplo \[x^5 = x\cdot x\cdot x \cdot x\cdot x\]
En el caso de una potencia negativa, se debe tomar el recíproco para posteiormente hacer la expansión. Así \(x^{-5}\) se ve como sigue \[x^{-5} = \frac{1}{x^5} = \frac{1}{ x\cdot x\cdot x \cdot x\cdot x} \]
Ejemplo 1. Realizar la división \(\frac{x^5}{x^3}.\)Podemos proceder de dos maneras
- \[\begin{eqnarray}\frac{x^5}{x^3} & = &\frac{\not x\cdot \not x\cdot \not x \cdot x\cdot x}{\not x\cdot \not x\cdot \not x}\\ & = & x \cdot x \\ & = & x^2 \end{eqnarray}\]
\[\begin{eqnarray}\frac{x^5}{x^3} & = & x^{5-3} \\ & = & x^2\\ \end{eqnarray}\]
Ejemplo 2. Hacer la división \(\frac{y^{-5}}{y^3}.\)
Procediendo como en el segundo caso se tiene que \[\frac{y^{-5}}{y^3} = y^{-5 +3} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}\]
También podemos hacer divisiones de polinomios mucho más complejas. Para esto se usa el algoritmo de la división de Euclides. Para esto hay que conocer las partes que componen esta operación, que se presentan a continuación
\[\begin{eqnarray} & Cociente &\\ Divisor & | \overline{Dividendo} &\\ & Residuo &\\ \end{eqnarray}\]
Ejemplo 3. Realizar la siguiente división de polinomios \[x^2 +2 | \overline{x^3+ 4}\] Usando el algoritmo de la división se tiene que \[\begin{eqnarray*} & x &\\ x^2 +2 & | \overline{x^3+ 4} &\\ & \underline{-x^3-2x}&\\ & -2x + 4 &\\ \end{eqnarray*}\] Y para verificar que en efecto se ha realizado de manera correcta la división se tiene que cumplir lo siguiente: \[Divisor * Cociente + Resíduo = Dividendo\] Así, para el caso que tenemos \[\begin{eqnarray} (x^2 + 2)x + (-2x + 4) &=&x^3 + \not 2x - \not 2x + 4\\ & = & x^3 +4\\ \end{eqnarray}\]
Ejemplo 4. Realizar la siguiente división de polinomios. \[a + 7 | \overline{a^2 + 9a +14}\] Usando el algoritmo de la división se tiene que \[\begin{eqnarray*} & a + 2 & \\ a + 7 & | \overline{a^2 + 9a +14} & \\ & \underline{-a^2 - 7a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \\ & \ \ \ \ \ 2a + 14 & \\ & \ \ \ \ \ \ \underline{-2a -14} & \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 & \\ \end{eqnarray*}\] Los pasos que se siguieron son los que se listan a continuación:
- El dividendo se ordena en potencias decrecientes.
- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente.
- Se multiplica el primer término del cociente por cada término que aparece en el divisor. Este resultado se va colocando debajo del dividendo.
- Se lleva a cabo la suma o la resta, después de cambiar el signo, y se bajan los términos que no se cancelan.
Se repiten los pasos del 2 al 4, pero empleando el resíduo correspondiente como nuevo dividendo. Se continúa con el proceso hasta que el resíduo sea 0 ó su grado sea menor que el grado del divisor.
1.4 Fracciones algebraicas
1.4.1 Suma de fracciones algebraicas
Este tipo de operaciones son el cociente de dos expresiones algebraicas. El punto clave para poder hacer correctamente este tipo de ejercicios es tener un común denominador. Pensemos en el caso siguiente:
Sumar \[\frac{5a^4}{9a^3} + \frac{2a}{4a^2}\] Una forma sencilla de comenzar es multiplicar y dividir el segundo término por \(a\), para obtener \[\frac{5a^4}{9a^3} + \frac{2a}{4a^2}\cdot\frac{a}{a} = \frac{5a^4}{9a^3} + \frac{2a^2}{4a^3}\] Lo que sigue, para tener un común denominador, es trabajar con los coeficientes numéricos como se hace usualmente en la suma de fracciones. Así, \[\begin{eqnarray*}\frac{5a^4}{9a^3} + \frac{2a^2}{4a^3}& =& \frac{5a^4}{9a^3}\cdot\frac{4}{4} + \frac{2a^2}{4a^3}\cdot\frac{9}{9}\\ & = &\frac{20 a^4}{36 a^3} + \frac{18 a^2}{36 a^3}\\ & = &\frac{20 a^4 + 18 a^2}{36 a^3}\\ & = &\frac{(20 a^2 + 18)\cdot \not a^2}{36 a \cdot\not a^2}\\ & = &\frac{20 a^2 + 18}{36 a} \end{eqnarray*}\] Tip: Si tienes práctica puedes hacer la multiplicación cruzada para obtener los coeficientes que se colocan en los numeradores.
Puedes ver un video bastante dinámico sobre la suma de fracciones dando click en el icono:
Ejemplo 1. Realizar la siguiente operación con fracciones algebraicas: \[\frac{x^2}{10x^2} + \frac{3x^2}{8x^4} - \frac{5x^2}{6x^3}.\] Tal como se hizo anteriormente se construye un común denominador para la literal. Esto puede hacerse multiplicando y diviendo por el factor adecuado para igualar la potencia más grande. Es decir \[\begin{eqnarray*}\frac{x^2}{10x^2} + \frac{3x^2}{8x^4} - \frac{5x^2}{6x^3} &=& \frac{x^2}{10x^2}\cdot\frac{x^2}{x^2} + \frac{3x^2}{8x^4} - \frac{5x^2}{6x^3}\cdot\frac{x}{x}\\ &=&\frac{x^4}{10x^4} + \frac{3x^2}{8x^4} - \frac{5x^3}{6x^4}\\ \end{eqnarray*}\] Ahora calculamos el máximo común divisor de los tres coeficientes de los denominadores: \[\begin{array}{ccc|c} 10 & 8 & 6 & 2\\ 5 & 4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 3 & 3\\ 5 & \ & 1 & 5\\ \end{array}\] Así, el m.c.d es \[2\cdot 2\cdot 2 \cdot 3\cdot 5 = 120,\] de donde se puede escribir \[\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{10x^4}\cdot\frac{120}{120} + \frac{3x^2}{8x^4}\cdot\frac{120}{120} - \frac{5x^3}{6x^4}\cdot\frac{120}{120} & = &\frac{12x^4}{120x^4} + \frac{45x^2}{120x^4}-\frac{100x^3}{120x^4}\\ & = & \frac{12 x^4 + 45x^2 - 100x^3}{120 x^4}\\ & = & \frac{12x^2 + 45 - 100x}{120x^2}\\ \end{eqnarray*}\]
1.4.2 Multiplicación de fracciones algebraicas
Para comenzar con este tema conviene recordar la manera en la que se realiza la multiplicación de fracciones. Pensemos en el siguiente caso: \[\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\] En este caso se lleva a cabo la operación multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, de donde se sigue que: \[\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6} = \frac{3\cdot 5}{4\cdot 6} = \frac{15}{24}\] Esta misma idea, en combinación con la multiplicación de potencias que hemos comentado antes, es lo que se aplica para la multiplicación de fracciones algebraicas.
Ejemplo 1. \[\begin{eqnarray*}\left(\frac{3x^2}{2x^2}\right)\cdot\left(\frac{4x^4}{5x^3}\right)&=&\frac{3x^2 \cdot 4x^4}{2x^2 \cdot 5x^3}\\ & = &\frac{12x^{2+4}}{10x^{2+3}}\\ & = &\frac{12x^6}{10x^5} \end{eqnarray*}\] Es posible simplificar esta última parte, con lo que se obtiene
\[\begin{eqnarray*}\left(\frac{3x^2}{2x^2}\right)\cdot\left(\frac{4x^4}{5x^3}\right)&=&\frac{12x^6}{10x^5}\\ & = & \frac{6\cdot \not 2}{5\cdot\not 2} x^{6-5}\\ & = & \frac{6}{5}x \end{eqnarray*}\]
Es conveniente tener presente cómo simplificar una expresión de este tipo ya que muchas veces se pide específicamente hacer esto en los ejercicios. Para esto se recomienda leer con atención qué es lo que se pide en cada problema.
1.4.3 Ejercicios
Resolver las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas. No es necesario simplificar.
- \(\frac{3m}{6m^3} \cdot \frac{4m^4}{7m^4}\)
- \(\left(\frac{3x^2}{5x^3}\right) \cdot \left(\frac{-2x^4}{3y^4}\right)\cdot\left(\frac{3y^2}{x^8}\right)\)
- \(\left(\frac{2x}{5x^3}\right) \cdot \left(\frac{2x^3}{7y}\right)\)
1.5 División de fracciones algebraicas
La división es la operación inversa a la multiplicación y suele presentarse de la siguiente manera: \[\frac{4}{5} \div \frac{2}{8}\] Debe tenerse cuidado para no confundirse a la hora de hacer los procedimientos. Así que observa con atención cómo se lleva a cabo \[\frac{4}{5} \div \frac{2}{8} = \frac{4}{5} \times \frac{8}{2} = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}\] La división de fracciones algebraicas se lleva a cabo empleando la misma estrategia.
Ejemplo 1. Hacer la siguiente división \[\frac{4b^4}{3n^2} \div \frac{2b^3}{5n^2}\] Para realizar el ejercicio vamos a desarrollarlo de manera completa. Presta atención a la manera en la que se acomoda el divisor (que aparece en negritas) en el paso intermedio \[\frac{4b^4}{3n^2} \div {\bf\frac{2b^3}{5n^2}} = \frac{4b^4}{3n^2} \times {\bf \frac{5n^2}{2b^3}} = \frac{4b^4 \cdot 5n^2}{3n^2 \cdot 2b^3} = \frac{20 b^4 n^2}{6n^2 b^3}\]
Cuando hayas adquirido práctica puedes hacer directamente la multiplicación cruzada con la nemotecnia “nd-dn.” Que quiere decir, numerador por denominador entre denominador por numerador.
Ejemplo 2. Hacer la siguiente división \[\frac{2x^5}{3y^2} \div \frac{3x^3}{5y^6}\] Usando la nemotecnia tenemos que \[\frac{2x^5}{3y^2} \div \frac{3x^3}{5y^6} = \frac{2x^5 \cdot 5y^6}{3y^2 \cdot 3x^3} = \frac{10x^5 y^6}{9y^2 x^3}\]
¿Es posible simplificar el resultado? En este caso la respuesta es afirmativa y queda como sigue \[\frac{2x^5}{3y^2} \div \frac{3x^3}{5y^6} = \frac{10x^5 y^6}{9y^2 x^3} =\frac{10x^2\not x^3 y^4 \not y^2}{9\not y^2 \not x^3}=10x^2 y^4\]