7  เงินกู้และการผ่อนชำระหนี้ (Loans and Amortization)

Importantหมายเหตุ

ก่อนเริ่มการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วยซิมไพ ขอให้ผู้อ่านทำการเรียกใช้คำสั่งดังต่อไปนี้ก่อน

from sympy import symbols, Eq, solve

เพื่อจะได้ไม่ต้องเรียกใช้งานทุกครั้ง

7.1 รูปแบบการชำระหนี้ (Loan Repayment Models)

ในคณิตศาสตร์การเงิน การชำระหนี้แบบผ่อนชำระมีหลายรูปแบบ ซึ่งแต่ละรูปแบบมีโครงสร้างการชำระที่แตกต่างกัน แต่โดยทั่วไปแล้ว

• ผู้กู้จ่ายงวดเท่ากันทุกงวด (Level Payment Loan)

• ผู้กู้จ่ายเงินต้นคงที่ ส่วนดอกเบี้ยลดลงเรื่อย ๆ (Principal Repayment Loan)

• การชำระหนี้แบบบอลลูน (Balloon Loan) : ผู้กู้จ่ายเฉพาะดอกเบี้ยหรือจ่ายน้อยช่วงต้น แล้วจ่ายก้อนใหญ่ (balloon) ในงวดท้าย

จำนวนรายงวดที่ต้องจ่ายก็จ่าย สามารถหาได้จาก สูตรการคำนวณในบทที่ 3 โดยที่ยอดผ่อนจ่ายรายงวดคือ \[L=R\cdot a_{\overline{n}|i}\rightarrow R=\dfrac{L}{a_{\overline{n}|i}}\] โดยที่

• \(L\) = เงินกู้เริ่มต้น (loan amount)

• \(R\) = จำนวนเงินที่จ่ายรายงวด

• \(i\) = อัตราดอกเบี้ยต่อช่วง

• \(n\) = จำนวนงวดทั้งหมด

สมมุติกู้ยืมเงิน 1 ล้านบาท ด้วยอัตราดอกเบี้ย \(i^{(12)}=0.06\) ผ่อนชำระทุกสิ้นเดือน เป็นเวลา 10 ปี ต้องผ่อนเดือนละเท่าไหร่

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายรายงวด

อัตราดอกเบ้ียต่อเดือนคือ \(i =i^{(12)}/12=0.06/12=0.005\) สมการแห่งมูลค่าคือ \[1,000,000=R\cdot a_{\overline{120}|i}, = 0.005\]

# นิยามตัวแปร
L,R,  i, n, k,  = symbols('L R i n k' , positive=True)
a_ni = symbols('a_ni')
i = 0.005
v = 1 / (1 + i)
n = 120
L = 1e6
a_ni =(1-v**n)/i
eq = Eq(L,R*a_ni)
sol =solve(eq, R)
sol

[11102.0501941652]

ต้่องผ่อนเดือนละ 11,102.05 เป็นเวลา 10 ปี แต่ปกติผผู้ให้กู หรือ ผู้กู้อาจจะผ่อนจ่ายเพิ่มขึ้นอีกเล็กน้อย เช่น 11,200 11,110 หรือ 11,103 บาท ซึ่งผลของการผ่อนมากขึ้นอีกเล็กน้อยจะทำให้การชำระหนี้หมดเร็วขึ้นไปอีก เพราะส่งผลให้งวดสุดท้ายจ่ายเงินเป็นจำนวนทึ่ลดลง โดยจะมีหนี้เหลือเท่าไหร่ ในงวดสุดท้าย หรืองวดสุดท้ายต้องจ่ายเท่าไหร่เพื่อปิดหนี้ จะกล่าวถึงในหัวข้่อถัดไป

7.2 ยอดเงินคงค้าง (Outstanding Balance)

ณ งวดใด ๆ ของการชำระหนี้ เราสามารถแยก ยอดคงค้าง (Outstanding Balance) ได้ 2 วิธี

7.2.1 วิธีมองไปข้างหน้า (Prospective Method)

ในแนวคิดของ วิธีมองไปข้างหน้า การคำนวณยอดคงค้าง ณ งวดที่ \(k\) คือการพิจารณามูลค่าปัจจุบันของงวดชำระหนี้ที่เหลืออยู่ทั้งหมดตั้งแต่งวดที่ \(k+1\) ไปจนถึงงวดสุดท้าย \(n\) โดยคิดลดด้วยอัตราดอกเบี้ย \(i\)

สูตรในการคำนวณยอดคงค้าง ณ งวดที่ \(k\) คือ

\[ B_k = R \cdot a_{\overline{n - k}|i} \]

โดยที่

• \(B_k\) คือ ยอดคงค้างของเงินกู้ ณ จุดสิ้นสุดของงวดที่ \(k\)

• \(R\) คือ จำนวนเงินที่ต้องจ่ายในแต่ละงวด (ค่างวดเท่ากันทุกงวด)

• \(a_{\overline{n-k}|i}\) คือ มูลค่าปัจจุบันของการชำระเงินจำนวน \(R\) ทั้งหมดที่เหลืออีก \(n-k\) งวด โดยคิดลดด้วยอัตราดอกเบี้ย \(i\)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยอดคงค้าง ณ งวดที่ \(k\) เท่ากับ มูลค่าปัจจุบันของค่างวดที่เหลืออยู่ในอนาคต ทั้งหมด ณ เวลานั้น

7.2.2 วิธีมองย้อนกลับ (Retrospective Method)

ในแนวคิดของ วิธีมองย้อนกลับ การคำนวณยอดคงค้าง ณ งวดที่ \(k\) คือการพิจารณามูลค่าที่สะสมของเงินกู้เริ่มต้นจนถึงงวดที่ \(k\) แล้วหักด้วยมูลค่าที่สะสมของการชำระเงินที่ได้จ่ายไปแล้วจนถึงงวดที่ \(k\) โดยคิดรวมดอกเบี้ยที่สะสมในแต่ละงวด

สูตรในการคำนวณยอดคงค้าง ณ งวดที่ \(k\) คือ \[ B_k = L(1+i)^k - R \cdot s_{\overline{k}|i} \] โดยที่

• \(B_k\) คือ ยอดคงค้างของเงินกู้ ณ จุดสิ้นสุดของงวดที่ \(k\)

• \(L\) คือ จำนวนเงินกู้เริ่มต้น

• \(i\) คือ อัตราดอกเบี้ยต่อช่วง

• \(R\) คือ จำนวนเงินที่ต้องจ่ายในแต่ละงวด (ค่างวดเท่ากันทุกงวด)

• \(s_{\overline{k}|i}\) คือ มูลค่าที่สะสมของการชำระเงินจำนวน \(R\) ทั้งหมดที่ได้จ่ายไปแล้วใน \(k\) งวด โดยคิดรวมดอกเบี้ยที่สะสมในแต่ละงวด

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยอดคงค้าง ณ งวดที่ \(k\) เท่ากับ มูลค่าที่สะสมของเงินกู้เริ่มต้น จนถึงงวดที่ \(k\) หักด้วย มูลค่าที่สะสมของการชำระเงินที่ได้จ่ายไปแล้ว จนถึงงวดที่ \(k\)

ตัวอย่างที่ 1 นายสมชายกู้เงินจำนวน \(L = 10{,}000\) บาท โดยชำระคืนเป็นรายปี จำนวนเงินงวดละ \(R = 2{,}638.55\) บาท เป็นเวลา 5 ปี ที่อัตราดอกเบี้ย \(i = 8\%\) ต่อปี (ค่างวดเท่ากันทุกงวด) จงหายอดคงค้างของเงินกู้ ณ สิ้นปีที่ 3

วิธีทำ:

แผนภาพสมการแห่งมูลค่าด้วยวิธีมองไปข้างหน้า

เหลือจำนวนงวดที่ต้องชำระอีก 2 งวด ด้วยวิธีมองไปข้างหน้า \[X= 2504.56\cdot a_{\overline{2}|0.08}\]

i,v, n, X, a_n = symbols('i v n X a_n', positive = True)
i = 0.08
v = 1/(1+i)
n = 2
a_n = (1-v**n)/i
X = 2504.56*a_n
X

4466.293552812076

ดังนั้นเมื่อชำระงวดที่ 3 แล้วจะเหลือหนี้ 4,705.23 บาท

2. ใช้วิธีคิดแบบมองย้อนกลับ

แผนภาพสมการแห่งมูลค่าด้วยวิธีมองย้อนกลับ

สมการมูลค่า คือ \[10000\cdot(1+i)^3 = 2504.56\cdot s_{\overline{3}|i}+X, i=.08\]

i, n, X, s_n = symbols('i n X s_n', positive = True)
i = 0.08
n = 3
s_n = ((1+i)**n - 1)/i
eq = Eq(1e4*(1+i)**n, 2504.56*s_n + X)
eq

\(\displaystyle 12597.12 = X + 8130.80358400001\)

แก้สมการ

solution = solve(eq,X)
solution[0].evalf(6)

\(\displaystyle 4466.32\)

ทั้งสองวิธีแตกต่างกันเล็กน้อย เนื่องจากเลขทศนิยมของรายงวดที่จ่ายไม่ใช่ตัวเลขจริง เนื่องใช้ทดนิยมเพียงสองตำแหน่ง

ตัวอย่างที่ 2 บริษัทแห่งหนึ่งกู้เงินจำนวน \(L = 50{,}000\) บาท ชำระคืนทุกไตรมาส (ปีละ 4 ครั้ง) เป็นเวลา 3 ปี รวมทั้งหมด 12 งวด ที่อัตราดอกเบี้ย \(i^{(4)} = 6\%\) ต่อปี หรือ \(i = \frac{0.06}{4} = 0.015\) ต่อไตรมาส ชำระงวดละ \(R = 4{,}348.50\) บาท

คำถาม: หายอดคงค้างของเงินกู้ ณ สิ้นงวดที่ 5

ถ้าจะใช้วิธีมองไปข้างหน้า ต้องแน่ใจก่อนว่า 4348.50 ที่ชำระ 12 งวดมีมูลค่าปัจจุบันเท่ากับ 50,000 บาท

i, v, n, R, a_n = symbols('i v n R a_n', positive = True)
i = 0.015
v = 1/(1+i)
n = 12
a_n = (1-v**n)/i
R = 50000/a_n
R

4583.9996453114845

จะพบว่า ไม่สามารถใช้วิธีมองไปข้างหน้าได้ ต้องใช้วิธีมองย้อนกลับ

แผนภาพสมการแห่งมูลค่าด้วยวิธีมองย้อนกลับ

เทียบกับตัวอย่างที่ผ่านมาสมการแห่งมูลค่าคือ \[X = 50000\cdot (1+i)^5-4348.5\cdot s_{\overline{5}|i},~i =0.015\]

i,n, s_n, X = symbols('i n s_n X', positive = True)
i =0.015
n = 5
s_n = ((1+i)**n-1)/i
X = 50000*(1+i)**5-4348.5*s_n
X

31459.567468138554

หลังจากชำระงวดที่ 5 มียอดหนี้คงเหลือเท่ากับ 31.459.57 บาท

ตัวอย่างที่ 3 กู้เงิน 1 ล้าน ด้วยอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปีเปลี่ยนแปลงทุกเดือน โดยมีการชำระทุกสิ้นเดือน เป็นเวลา 6 ปี เมื่อชำระครบแล้ว 3 ปีเหลือหนี้เท่าไหร่ หลังจากนั้นถ้าต้องการชำระหนี้ให้หมดเร็วขึ้น 1 ปีท ต้องชำระหนี้งวดละเท่าไหร่

ผ่อนเป็นเวลา 6 ปีมีจำนวนงวดเท่ากับ 72 งวด อัตราดอกเบี้ยต่องวด(เดือน) \(i =i^{(12)}/12=0.006/12=0.005\)

สมการแห่งมูลค่าคือ \(1,000,000 = R\cdot a_{\overline{72}|i}\) หรือ \[R =1,000,000/a_{\overline{72}|i}, i =0.005\]

i,n, v, a_n, R = symbols('i n v a_n R', positive = True)
i = 0.005
n = 72
v = 1/(1+i)
a_n = (1-v**n)/i
R = 1e6/a_n
R

16572.88789347258

ต้องผ่อนชำระ เดือนละ 16,572.89 บาท ต่อเดือน ดังนั้นเมืผ่อนชำระไปแล้ว 3 ปี เหลือหนี้ที่ต้องชำระอีก 36 คือ

แผนภาพสมการแห่งมูลค่า

สมการแห่งมูลค่าคือ \[L=16572.89\cdot a_{\overline{36}|i}\]

i, n, v, L, a_n = symbols('i n v L a_n', positive = True)
i = 0.005
n = 36
v = 1/(1+i)
a_n = (1-v**n)/i
L = 16572.89*a_n
L

544767.736321554

ดังนั้นถ้าต้องการให้หนี้หมดเร็วขี้น 1 ปี ต้องผ่อนอีก 24 งวด

แผนภาพสมการแห่งมูลค่า

สมการแห่งมูลค่าคือ \[R = 544767.74/a_{\overline{24}|i},~ i =0.005\]

i,n, v, a_n, R = symbols('i n v a_n R', positive = True)
i = 0.005
n = 24
v = 1/(1+i)
a_n = (1-v**n)/i
R = 544767.74/a_n
R

24144.438682815817

ต้่องผ่อนชำระเป็นเงิน 24,144.44 บาท เพื่อหมดหนี้เร็วขึ้น 1 ปี

7.3 ตารางการชำระหนี้ (Amortization Schedule)

เป็นเครื่องมือที่ใช้แสดงรายละเอียดของการชำระคืนเงินกู้ในแต่ละงวด โดยตารางประกอบด้วยคอลัมน์สำคัญที่อธิบายได้ดังนี้

งวดที่ \(k\)	ค่างวด \(R\)	ดอกเบี้ย \(I_k\)	เงินต้น \(P_k\)	ยอดคงค้าง \(B_k\)
1	…	…	…	…
2	…	…	…	…
…	…	…	…	…

• งวดที่ \(k\) หมายถึง ลำดับของการชำระหนี้ เช่น งวดที่ 1, 2, 3,… จนถึงงวดสุดท้าย เป็นการบ่งบอกว่าการชำระหนี้นี้เกิดขึ้นในช่วงเวลาใดของแผนการชำระหนี้

• ค่างวด \(R\) คือ จำนวนเงินที่ต้องชำระในแต่ละงวด ซึ่งมักจะเป็นจำนวนเท่ากันทุกงวด (ในกรณีของเงินกู้แบบงวดคงที่) ค่างวดนี้ประกอบด้วย ดอกเบี้ย และ เงินต้น

• ดอกเบี้ย \(I\_k\) คือ จำนวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่ายในงวดที่ \(k\) โดยคำนวณจากยอดคงค้างของเงินกู้ในช่วงต้นงวดก่อนการชำระ สูตรที่ใช้คือ \[ I_k = i \cdot B_{k-1} \] โดยที่ \(B_{k-1}\) คือยอดคงค้างก่อนการชำระในงวดที่ \(k\) และ \(i\) คืออัตราดอกเบี้ยต่อช่วงเวลา

• เงินต้น \(P\_k\) คือ ส่วนของค่างวดที่นำไปชำระเงินต้น ซึ่งหาได้จากการนำค่างวดหักด้วยดอกเบี้ย \[ P_k = R - I_k \] เงินต้นส่วนนี้จะทำให้ยอดคงค้างลดลงในแต่ละงวด

• ยอดคงค้าง \(B\_k\) คือ ยอดเงินกู้ที่เหลืออยู่หลังจากการชำระหนี้ในงวดที่ \(k\) แล้ว คำนวณโดยการนำยอดคงค้างก่อนหน้าหักด้วยเงินต้นที่ชำระในงวดนั้น \[ B_k = B_{k-1} - P_k \] ยอดคงค้างนี้จะลดลงเรื่อย ๆ จนเหลือศูนย์ในงวดสุดท้าย

เนื่องจากซิมไพ ใช้สำหรับการคำนวณเชิงสัญลักษณ์เป็นหลัก ถ้าต้่องการตารางการผ่อนชำระ จำเป็นต้องบันทึกการคำนวณในอยู่ของตาราง (data frame) โดยใช้ชุดคำสั่ง panda ในไพธอน เข้าช่วย

ขั้นตอนคือ

1. ใช้ SymPy สร้างสูตร symbolic เช่น ดอกเบี้ย, เงินต้น, ยอดคงค้าง

2. ใช้ pandas สร้าง ตารางการชำระหนี้ (Amortization Schedule) ที่แสดงค่าจริงจากการแทนค่าตัวแปร

ตัวอย่าง เงินกู้ \(L = 10,000\), ดอกเบี้ย \(i = 8\%\) ต่อปี, งวดละ \(R = 2,504.56\), จำนวน 5 งวด

from sympy import N
# --- กำหนด symbol สำหรับคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ---
L, i, R = symbols('L i R')
B_prev, B_curr, I_k, P_k = symbols('B_prev B_curr I_k P_k')
# --- ค่างวดที่แทนค่าจริง ---
L_val = 10000
i_val = 0.08  # 8% = 0.08
R_val = 2504.56
n_periods = 5

import pandas as pd
# --- เตรียมตารางใน pandas ---
amort_table = pd.DataFrame(columns=["งวดที่", "ค่างวด R", "ดอกเบี้ย I_k",
                                    "เงินต้นP_k", "ยอดคงค้าง B_k"])
# --- ค่าเริ่มต้นยอดคงค้างก่อนงวดแรก ---
B_prev_val = L_val

for k in range(1, n_periods + 1):
# สร้างสมการดอกเบี้ยและเงินต้นเชิงสัญลักษณ์
    I_k_expr = i * B_prev
    P_k_expr = R - I_k_expr
    B_k_expr = B_prev - P_k_expr
# แทนค่าคำนวณจริง
    I_k_val = N(I_k_expr.subs({i: i_val, B_prev: B_prev_val}))
    P_k_val = N(P_k_expr.subs({R: R_val, i: i_val, B_prev: B_prev_val}))
    B_curr_val = N(B_k_expr.subs({R: R_val, i: i_val, B_prev: B_prev_val}))
# เติมข้อมูลในตาราง
    amort_table.loc[k-1] = [k, round(R_val, 2), round(I_k_val, 2), round(P_k_val, 2), 
                            round(B_curr_val, 2)]
# อัปเดตยอดคงค้างสำหรับรอบถัดไป
    B_prev_val = B_curr_val

## แสดงตาราง
amort_table

	งวดที่	ค่างวด R	ดอกเบี้ย I_k	เงินต้นP_k	ยอดคงค้าง B_k
0	1	2504.56	800.000000000000	1704.56	8295.44
1	2	2504.56	663.64	1840.92	6454.52
2	3	2504.56	516.36	1988.20	4466.32
3	4	2504.56	357.31	2147.25	2319.06
4	5	2504.56	185.52	2319.04	0.03

7.4 ฟังก์ชัน N ในซิมไพ

ชุดคำสั่งซิมไพ ฟังก์ชัน N() หรือ evalf() ใช้สำหรับ ประเมินค่าตัวเลข (numerical evaluation) ของนิพจน์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic expression)

ฟังก์ชัน	ความหมาย	ตัวอย่าง
N(expr)	ประเมินค่านิพจน์ให้เป็นค่าทศนิยม	N(1/3)\(\rightarrow\) 0.333333333333333
expr.evalf()	เขียนอีกแบบหนึ่งของ N(expr)	(pi).evalf()\(\rightarrow\) 3.14159265358979
N(expr, n)	กำหนดจำนวนหลักทศนิยม	N(pi, 50) \(\rightarrow\) ประเมินค่าพาย 50 หลัก

from sympy import N, pi, sqrt

# ตัวอย่างทั่วไป
N(1/3)             #$\rightarrow$ 0.333333333333333
N(pi)              #$\rightarrow$ 3.14159265358979
N(sqrt(2))         #$\rightarrow$ 1.41421356237310
N(pi, 30)          #$\rightarrow$ 3.14159265358979323846264338328

# ใช้กับสมการซับซ้อน
from sympy import symbols
x = symbols('x')
expr = (pi + sqrt(2)) / 3
N(expr)            #$\rightarrow$ ค่าทศนิยมของนิพจน์

• เมื่อต้องการ “ค่าจริง” จากนิพจน์ที่ยังคงเป็นสัญลักษณ์

• ใช้ในสมการทางคณิตศาสตร์การเงิน เช่น ค่างวด, มูลค่าเงิน, PV, FV

• ใช้ก่อนนำค่าที่คำนวณได้ไป แสดงผล, เขียนลง DataFrame, หรือ plot

7.4.1 การใช้ฟังก์ชันเพื่อแยกเงินต้นและดอกเบี้ย

from sympy import symbols, Function, Eq, solve, Rational, simplify

# นิยามตัวแปร
L, i, n, k = symbols('L i n k', positive=True)
v = 1 / (1 + i)

# ค่างวด R
R = simplify(L * i / (1 - v**n))  # หรือ L / (1 - v**n) * i

# ยอดคงค้างแบบ prospective ณ งวดที่ k
B_k = simplify(R * (1 - v**(n - k)) / i)

# ดอกเบี้ยงวดที่ k
I_k = simplify(i * B_k.subs(k, k - 1))

# เงินต้นงวดที่ k
P_k = simplify(R - I_k)

ตัวอย่าง กู้เงิน 10,000 บาท จ่าย 5 งวด ดอกเบี้ย 6% ต่อปี (0.06 ต่อปี), ผ่อนชำระปีละครั้ง

# ตัวอย่างการแทนค่า
R_val = R.subs({L: 10000, i: 0.06, n: 5}).evalf()
B3_val = B_k.subs({L: 10000, i: 0.06, n: 5, k: 3}).evalf()
I3_val = I_k.subs({L: 10000, i: 0.06, n: 5, k: 3}).evalf()
P3_val = P_k.subs({L: 10000, i: 0.06, n: 5, k: 3}).evalf()

หรือ จะใช้ชุดคำสั่ง numpy ร่วมกับ panda ก็ได้

import numpy as np
import pandas as pd
# กำหนดค่าตัวแปร
L = 10000           # เงินกู้เริ่มต้น
i = 0.08            # อัตราดอกเบี้ยต่อปี
R = 2504.56         # ค่างวด
n = 5               # จำนวนงวด

# เตรียมข้อมูลงวด 1 ถึง n
k = np.arange(1, n + 1)

# ดอกเบี้ยแต่ละงวด: I_k = i * B_{k-1}
# ใช้ vector trick: สร้าง B_k ทีละงวดจาก recursive
B = np.zeros(n + 1)  # รวม B0 ถึง B5
I = np.zeros(n)
P = np.zeros(n)

B[0] = L  # ยอดเงินเริ่มต้นก่อนงวดที่ 1

for t in range(n):
    I[t] = i * B[t]
    P[t] = R - I[t]
    B[t+1] = B[t] - P[t]

# ตัด B0 และ B_{n+1}
B_k = B[1:]

# รวมเป็น DataFrame
df = pd.DataFrame({
    "งวดที่": k,
    "ค่างวด R": np.full(n, R),
    "ดอกเบี้ย I_k": np.round(I, 2),
    "เงินต้น P_k": np.round(P, 2),
    "ยอดคงค้าง B_k": np.round(B_k, 2)
})

df

	งวดที่	ค่างวด R	ดอกเบี้ย I_k	เงินต้น P_k	ยอดคงค้าง B_k
0	1	2504.56	800.00	1704.56	8295.44
1	2	2504.56	663.64	1840.92	6454.52
2	3	2504.56	516.36	1988.20	4466.32
3	4	2504.56	357.31	2147.25	2319.06
4	5	2504.56	185.52	2319.04	0.03

7.5 เงินกู้ที่มีการชำระก้อนสุดท้ายขนาดใหญ่ (Balloon Payment Loan)

เงินกู้ที่มีการชำระก้อนสุดท้ายขนาดใหญ่ (Balloon Payment Loan) คือ เงินกู้ที่ผู้กู้จะจ่ายค่างวดในแต่ละงวดต่ำกว่าปกติ โดยจะมี “ยอดก้อนใหญ่” (balloon) ที่ต้องชำระในงวดสุดท้ายหรือช่วงท้ายของสัญญา

ลักษณะสำคัญ

• ผู้กู้ชำระดอกเบี้ยหรือเฉพาะบางส่วนของเงินต้นในงวดต้น ๆ

• งวดสุดท้ายต้องจ่าย “ยอดก้อนใหญ่” ที่รวมเงินต้นที่ยังคงค้าง

• นิยมใช้ในกรณีที่

  • ผู้กู้มีรายรับไม่สม่ำเสมอ

  • คาดว่าจะมีรายได้ก้อนใหญ่ในอนาคต

  • ต้องการลดภาระค่างวดในช่วงเริ่มต้น

ตัวแปรและสมการที่เกี่ยวข้อง

• \(L\) คือยอดเงินกู้เริ่มต้น

• \(i\) คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี

• \(B\) คือยอด balloon payment

• \(R\) คือค่างวดที่ชำระรายงวด (หากมี)

• \(n\) คือจำนวนงวดทั้งหมด

7.5.1 กรณีจ่ายเฉพาะดอกเบี้ย (Interest-only)

\[L =iL\cdot a_{\overline{n}|i}+ L\cdot v^n\]

ผู้กู้ชำระเพียงดอกเบี้ย \(iL\) ทุกงวดเป็นเวลา \(n - 1\) งวด แล้วชำระยอด \(L + iL\) ในงวดสุดท้าย

• งวดที่ 1 ถึง \(n - 1\) ชำระ \(iL\)

• งวดที่ \(n\) ชำระ \(iL + L\)

7.5.2 กรณีมีบางส่วนของเงินต้น

แผนภาพสมการแห่งมูลค่า

ในบางกรณีผู้กู้จ่ายทั้งดอกเบี้ยและเงินต้นเล็กน้อยในแต่ละงวด และมี balloon payment \(B\) ณ งวดสุดท้าย \[L = R \cdot a_{\overline{n-1}|i}+B\cdot v^n\]

ตัวอย่าง Interest-Only + Balloon

นาย A กู้เงิน 100,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี เป็นเวลา 5 ปี เลือกชำระแบบจ่ายเฉพาะดอกเบี้ยรายปี และชำระคืนเต็มจำนวนในปีที่ 5

ดังนั้น

• ปี 1–4 จ่าย \(100,000 \times 0.06 = 6,000\) บาท

• ปี 5 จ่าย \(6,000 + 100,000 = 106,000\) บาท

ตัวอย่าง Partial Principal + Balloon

กู้เงิน 100,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี ผ่อน 4 ปีโดยจ่ายงวดละ 10,000 บาท และจ่าย balloon payment ในปีที่ 5 จงหาขนาด balloon payment \(B\) \[L = R \cdot a_{\overline{4}|i} + B\cdot v^5\]

B, L, R, i, n , v, a_n = symbols('B L R i n v a_n')
i = 0.06
v = 1/(1+i)
n = 4
L = 1e5
R = 1e4
a_n = (1-v**4)/i
eq = Eq(L, R*a_n+B*v**5)
Sol = solve(eq, B)
Sol[0].evalf(7)

\(\displaystyle 87451.63\)

งวดสุดท้ายต้องใช้จ่ายเท่ากับ \(87,451.63\) บาท

7.6 แบบฝึกหัดท้ายบท

1. จงอธิบายความแตกต่างระหว่างการผ่อนชำระแบบต้นเงินลดลง (decreasing balance) และค่างวดคงที่ (level payment loan) พร้อมยกตัวอย่างการใช้งานจริง

2. จงเขียนสูตรสำหรับค่างวดเงินกู้รายงวด \(R\) เมื่อทราบจำนวนงวด \(n\), อัตราดอกเบี้ยต่อปี \(i\), และยอดเงินกู้ \(L\) ด้วยซิมไพโดยใช้ฟังก์ชัน Sum()

3. ถ้าคุณกู้เงิน 100,000 บาท ที่ดอกเบี้ย 6% ต่อปี เป็นเวลา 5 ปี โดยผ่อนชำระรายปีแบบค่างวดคงที่ จงหายอดคงค้างหลังจ่ายไป 2 ปี

4. จากข้อ 3. จงแสดงตารางการผ่อนชำระเงินกู้ 3 ปีแรก โดยแยกดอกเบี้ยและเงินต้นของแต่ละงวด

5. จงวาดไดอะแกรมแสดงกระแสเงินสดของผู้กู้ (draw cash flow diagram) สำหรับเงินกู้ 3 ปี พร้อมอธิบาย

6. ให้นักเรียนเขียนโค้ดโดยใช้ซิมไพ เพื่อคำนวณยอดคงค้างหลังจ่ายงวดที่ 2 ของเงินกู้ 50,000 บาท ที่จ่ายรายเดือน 24 งวด

7. ถ้าอัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนจาก 6% เป็น 8% หลังจากงวดที่ 3 จงคำนวณยอดคงค้าง ณ สิ้นงวดที่ 4 ด้วยซิมไพและสร้างตารางการผ่อนชำระ

8. อธิบายความหมายของ Balloon Payment พร้อมยกตัวอย่างการใช้จริง และคำนวณค่างวดถ้าเงินกู้ 100,000 บาท จ่าย 4 งวดเท่ากัน + จ่ายก้อนสุดท้ายก้อนใหญ่

9. อธิบายแนวคิดของการรีไฟแนนซ์ และคำนวณว่าถ้าคุณรีไฟแนนซ์เงินกู้หลังจาก 2 ปี จะประหยัดได้เท่าไรถ้าอัตราดอกเบี้ยลดลง

10. จงคำนวณดอกเบี้ยรวมที่จ่ายตลอดอายุเงินกู้ 5 ปี ที่ค่างวดละ 10,000 บาทต่อเดือน ถ้าต้องจ่ายดอกเบี้ยที่ \(i^{(12)}=6\%\) ต่อปี

11. มียอดเงินกู้ 60,000 บาท ผ่อน 10 งวด ดอกเบี้ย 7% ต่อปี จงหาว่าในงวดที่ 4 ชำระเงินต้นเท่าไร

[1]

จลีพร โกลากุล และ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี, คณิตศาสตร์การเงิน, พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ: คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 1984.

[2]

ประสิทธิ์ พยัคฆพงษ์, คณิตศาสตร์การเงินและการลงทุน, พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์, 2004.

[3]

S. G. Kellison, The Theory of interest. ใน Irwin series in insurance and economic security. Homewood, Ill: R. D. Irwin, 1970.

[4]

มานพ วราภักดิ์, ทฤษฎีดอกเบี้ย = Theory of interest. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2006.

[5]

A. Meurer และคณะ, “SymPy: symbolic computing in Python”, PeerJ Computer Science, ปี 3, น. e103, ม.ค. 2017, doi: 10.7717/peerj-cs.103.

[6]

J. D. Hunter, “Matplotlib: A 2D graphics environment”, Computing in Science & Engineering, ปี 9, ฉบับที่ 3, น. 90–95, 2007, doi: 10.1109/MCSE.2007.55.