4 Deret Taylor

Deret Taylor adalah metode untuk mendekati fungsi dengan ekspansi deret berdasarkan turunan fungsi tersebut di sekitar titik tertentu.

Jika suatu fungsi \(f(x)\) memiliki turunan hingga orde tinggi di sekitar \(x = a\), maka kita dapat menuliskan ekspansi Taylor sebagai:

\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3 + \dots \]

Semakin banyak suku yang digunakan, semakin mendekati nilai fungsi aslinya.

4.1 Deret Taylor untuk \(e^x\)

Misalkan kita ingin mendekati fungsi eksponensial \(e^x\) dengan ekspansi Taylor di sekitar \(x = 0\).

Turunan-turunan fungsi \(e^x\) adalah:

✅ \(f(x) = e^x\)
✅ \(f'(x) = e^x\)
✅ \(f''(x) = e^x\)
✅ \(f'''(x) = e^x\)
✅ \(\cdots\) (dan seterusnya, karena turunan \(e^x\) selalu sama)

Pada \(x = 0\), semua turunan bernilai 1, sehingga ekspansi Taylor menjadi:

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \]

4.2 Perhitungan Perkiraan \(e^{0.1}\)

Kita bisa menghitung nilai \(e^{0.1}\) dengan hanya mengambil beberapa suku pertama:

\[ \begin{aligned} e^{0.1} & \approx 1 + 0.1 + \frac{(0.1)^2}{2!} + \frac{(0.1)^3}{3!} + \frac{(0.1)^4}{4!} \\ & = 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} + \frac{0.0001}{24} \\ & = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.0001667 + 0.000004167 \\ & \approx 1.10517 \end{aligned} \]

Bandingkan dengan nilai asli dari kalkulator:

\[ e^{0.1} \approx 1.105170918 \]

Hasil ini cukup akurat meskipun kita hanya mengambil 5 suku pertama.

Berikut ini adalah proses perhitungan dan visualisasinya dengan menggunakan bantuan Pemrograman Python.

import numpy as np
import plotly.graph_objs as go
from math import factorial

# Fungsi eksponensial asli
def e_x(x):
    return np.exp(x)

# Fungsi Taylor series hingga derajat n
def taylor_series(x, n):
    return np.array([
        sum((x_val**k) / factorial(k) for k in range(n + 1))
        for x_val in x
    ])

# Rentang x untuk plot
x_vals = np.linspace(-2, 2, 200)
y_actual = e_x(x_vals)

# Buat plot dengan Plotly
fig = go.Figure()

# Garis fungsi asli e^x
fig.add_trace(go.Scatter(
    x=x_vals, y=y_actual, mode='lines',
    name='e^x (Asli)', line=dict(color='black', width=3)
))

# Tambahkan pendekatan Taylor dengan berbagai jumlah suku
colors = ["red", "blue", "green", "purple", "orange"]
n_terms = [1, 2, 3, 5, 10]  # Jumlah suku Taylor yang digunakan

for i, n in enumerate(n_terms):
    y_taylor = taylor_series(x_vals, n)
    fig.add_trace(go.Scatter(
        x=x_vals, y=y_taylor, mode='lines',
        name=f'Taylor ({n} suku)',
        line=dict(color=colors[i], dash='dash')
    ))

# Layout plot
fig.update_layout(
    title='Pendekatan Taylor untuk e^x',
    xaxis_title='x',
    yaxis_title='e^x',
    legend=dict(x=0.1, y=0.9)
)

4.3 Prediksi Deret Taylor

Fungsi deformasi tanah dalam tambang mengikuti persamaan:

\[ u(t) = e^{-0.2t} \sin(2t)\]

dengan \(t\) dalam hari, dan \(u(t)\) dalam meter.
Kita ingin memprediksi deformasi tanah pada \(t = 6\) menggunakan deret Taylor di sekitar \(t = 5\).

4.3.1 Rumus Deret Taylor

Deret Taylor di sekitar \(t = 5\):

\[ u(t) \approx u(5) + u'(5) (t - 5) + \frac{u''(5)}{2!} (t - 5)^2 + \frac{u'''(5)}{3!} (t - 5)^3\]

\(u(5)\) = nilai fungsi pada \(t = 5\)
\(u'(t)\) = turunan pertama dari \(u(t)\)
\(u''(t)\) = turunan kedua dari \(u(t)\)
\(u'''(t)\) = turunan ketiga dari \(u(t)\)

Kita akan menghitung turunan fungsi hingga orde ke-3, mengevaluasi di \(t = 5\), lalu menggunakan deret Taylor untuk menghitung \(u(6)\).

4.3.2 Hitung Turunan \(u(t)\)

4.3.2.1 Nilai fungsi \(t = 5\)

\[ u(5) = e^{-1} \cdot \sin(10) \approx 0.3679 \cdot (-0.5440) = 0.1353 \]

4.3.2.2 Turunan pertama:

\[ u'(t) = e^{-0.2t}(2\cos(2t) - 0.2\sin(2t)) \] \[ u'(5) = e^{-1}(2\cos(10) - 0.2\sin(10)) \approx 0.3679 \cdot (-1.5694) = -0.1501 \]

4.3.2.3 Turunan kedua:

\[ u''(t) = e^{-0.2t}(-3.96\sin(2t) - 0.8\cos(2t)) \] \[ u''(5) = e^{-1}(-3.96\sin(10) - 0.8\cos(10)) \approx -0.0824 \]

4.3.2.4 Turunan ketiga:

\[ u'''(t) = e^{-0.2t}(-7.76\cos(2t) + 2.39\sin(2t)) \] \[ u'''(5) = e^{-1}(-7.76\cos(10) + 2.39\sin(10)) \approx 0.1102 \]

4.3.3 Aproksimasi \(u(6)\)

Substitusi nilai turunan ke dalam deret Taylor:

\[ u(6) \approx 0.1353 + (-0.1501)(1) + \frac{-0.0824}{2}(1)^2 + \frac{0.1102}{6}(1)^3 \]

\[ u(6) \approx 0.1353 - 0.1501 - 0.0412 + 0.0184 = -0.0376 \]

4.3.4 Nilai Sebenarnya

\[ u(6) = e^{-1.2} \cdot \sin(12) \approx 0.3012 \cdot (-0.1279) = -0.0385 \]

4.3.5 Kesimpulan

Nilai	Hasil
Aproksimasi	\(-0.0376\)
Nilai Sebenarnya	\(-0.0385\)
Error	\(0.0009\) meter (0.9 mm)

Aproksimasi sangat akurat, hanya selisih 0.9 mm dengan nilai aslinya.

4.4 Analogi Deret Taylor

Bayangkan kamu berdiri di sebuah titik jalan (anggap ini sebagai titik \(x = a\) pada grafik fungsi). Misalnya kamu sedang jalan kaki di sebuah bukit, dan kamu tidak punya peta lengkap, tapi kamu tahu:

Di mana posisi kamu sekarang
→ Ini seperti nilai fungsi di titik itu:
\[ f(a) \]
Arah jalan saat ini (menanjak atau menurun)
→ Ini seperti turunan pertama:
\[ f'(a) \]
Semakin besar \(f'(a)\), makin curam naiknya. Kalau negatif, berarti turun.
Apakah jalan akan berbelok tajam atau tidak
→ Ini seperti turunan kedua:
\[ f''(a) \]
Kalau positif, jalan makin menanjak. Kalau negatif, jalan mulai melandai atau menurun.
Bagaimana perubahan belokan itu sendiri
→ Ini turunan ketiga, keempat, dst.
Semakin banyak turunan yang kamu tahu, semakin akurat prediksi kamu.