7  Pers. Non-Diferensial

Persamaan Non-Diferensial (PND) adalah persamaan matematika yang tidak melibatkan turunan (derivatif) dari variabel. Fokusnya adalah pada hubungan langsung antara variabel melalui operasi aljabar biasa.

Dalam teknik tambang, PND digunakan untuk menghitung:

• Volume galian atau timbunan,
• Perencanaan logistik dan biaya,
• Estimasi statis cadangan,
• Perhitungan rasio kupasan,
• Pemodelan sistem linier.

7.1 Persamaan Aljabar

Persamaan aljabar terdiri dari variabel, konstanta, dan operasi dasar (tambah, kurang, kali, bagi). Bentuk umum:

\[ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0 \]

Jenis:

• \(n = 1\): Linear
• \(n = 2\): Kuadrat
• \(n \geq 3\): Polinomial orde tinggi

Contoh Kasus: Margin Penjualan Alat Tambang

Sebuah alat bor dibeli seharga Rp 150 juta dan dijual Rp 210 juta. Hitung margin keuntungan.

Penyelesaian:

\[ \text{Keuntungan} = \text{Harga Jual} - \text{Harga Beli} = 210 - 150 = 60 \text{ juta} \]

Interpretasi: Keuntungan adalah Rp 60 juta.

7.2 Persamaan Matriks

Digunakan untuk sistem linier skala besar, terutama dalam simulasi tambang atau alokasi sumber daya:

\[ AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B \]

Contoh Kasus: Jam Kerja Ekskavator dan Dump Truck

Ekskavator butuh 2 jam loading dan 1 jam idle; dump truck butuh 1 jam loading dan 3 jam idle. Total jam loading: 8, idle: 9.

Model Matriks:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \end{bmatrix} \]

Solusi:

\[ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow X = A^{-1}B = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 15 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Interpretasi: 3 ekskavator dan 2 dump truck.

7.3 Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL) yang memiliki lebih dari dua variabeleMetode Invers digunakan untuk menyelesaikan masalah alokasi sumber daya dalam operasi pertambangan. Dalam bentuk matriks 3×3eeeeee, SPL dapat dinyatakan sebagai:

\[ AX = B \]

dengan:

• \(A\) adalah matriks koefisien,
• \(X\) adalah vektor variabel,
• \(B\) adalah vektor hasil.

Contoh Kasus: Alokasi BBM Tiga Jenis Alat Berat

Dalam suatu proyek tambang, digunakan tiga jenis alat berat: Bulldozer (x), Excavator (y), dan Dump Truck (z). Kebutuhan BBM per hari masing-masing alat adalah:
- Bulldozer: 10 liter/unit
- Excavator: 8 liter/unit
- Dump Truck: 5 liter/unit

Total BBM yang tersedia: 300 liter.
Diketahui pula: - Jumlah Excavator = Dump Truck
- Jumlah Bulldozer = 2 × Dump Truck

Model Matematika (SPL):

\[ \begin{cases} 10x + 8y + 5z = 300 \\ y - z = 0 \\ x - 2z = 0 \end{cases} \]

Matriks Koefisien:

\[ A = \begin{bmatrix} 10 & 8 & 5 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 300 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Metode Invers Matriks

\[ X = A^{-1}B \]

1. Hitung invers dari \(A\), yaitu \(A^{-1}\)
   
2. Kalikan dengan \(B\) untuk mendapatkan \(X\)

Misalnya hasilnya:

\[ X = \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 10 \end{bmatrix} \]

Interpretasi Hasil

• 20 unit Bulldozer
  
• 10 unit Excavator
  
• 10 unit Dump Truck

Sistem ini menjamin efisiensi BBM sesuai batas dan proporsi operasional.

Metode invers matriks sangat efisien untuk menyelesaikan SPL \(\geq = 2\) variabel dalam perencanaan tambang.

7.4 Persamaan Eksponensial

Digunakan untuk model pertumbuhan cadangan, penurunan kadar, atau depresiasi alat:

\[ a^x = b \Rightarrow x = \log_a b \]

Contoh Kasus: Pertumbuhan Nilai Investasi Tambang

Nilai investasi tumbuh 16 kali lipat dengan laju eksponensial \(2^x = 16\). Berapa waktu yang dibutuhkan?

Penyelesaian:

\[ 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 \]

Interpretasi: Waktu yang dibutuhkan adalah 4 periode.

7.5 Persamaan Logaritma

Digunakan untuk skala data tambang (misalnya: log-plot), data seismik atau korelasi kedalaman.

\[ \log_b(x) = y \Rightarrow x = b^y \]

Contoh Kasus: Skala Log Konsentrasi Unsur

Jika \(\log_{10}(x) = 3\), tentukan nilai \(x\).

Penyelesaian:

\[ x = 10^3 = 1000 \]

Interpretasi: Konsentrasi unsur adalah 1000 ppm.

7.6 Persamaan Trigonometri

Digunakan dalam analisis kemiringan lereng, orientasi lapisan batuan, arah pengeboran.

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{2} \]

Contoh Kasus: Kemiringan Lereng Tambang

Tentukan semua nilai \(\theta\) dalam radian di mana \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\)

Penyelesaian:

\[ \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{atau} \quad \theta = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Interpretasi: Sudut lereng bisa mengacu pada arah \(\theta\) yang berulang setiap \(2\pi\).

7.7 Persamaan Parametrik

Digunakan untuk lintasan alat berat, rute hauling, atau simulasi pergerakan material:

Contoh Kasus: Lintasan Truk Tambang

Sebuah truk bergerak dengan posisi:

\[ x(t) = 5t + 10, \quad y(t) = 2t^2 \]

Tentukan posisi pada \(t = 3\) detik.

Penyelesaian:

\[ x(3) = 5(3) + 10 = 25 \\ y(3) = 2(3)^2 = 18 \]

Interpretasi: Posisi truk pada \(t = 3\) adalah \((25, 18)\).

7.8 Ringkasan PND

Jenis Persamaan	Bentuk Umum	Aplikasi Teknik Tambang
Aljabar	\(ax + b = 0\)	Estimasi biaya, logistik, dan margin operasional
Sistem Persamaan Linear	\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)	Alokasi sumber daya, keseimbangan supply-demand
Matriks	\(AX = B\)	Model input-output, simulasi operasi terintegrasi
Eksponensial	\(a^x = b\)	Pertumbuhan biaya, depresiasi alat, penurunan kadar
Logaritma	\(\log_b(x) = y\)	Skala data geologi/geokimia, transformasi data seismik
Trigonometri	\(\sin(x), \cos(x)\)	Analisis kemiringan lereng, orientasi struktur geologi
Parametrik	\(x(t),\ y(t)\)	Pemodelan lintasan alat berat, tracking posisi real-time

7.9 Studi Kasus PND

7.9.1 Soal 1

Optimasi Penggunaan Alat Berat dan Bahan Bakar

Latar Belakang:
Sebuah proyek konstruksi menggunakan dua jenis alat berat: Excavator dan Bulldozer. Excavator mengonsumsi 15 liter solar per jam, Bulldozer 20 liter per jam. Excavator beroperasi 8 jam/hari, Bulldozer 6 jam/hari. Biaya per liter solar adalah Rp 10.000. Proyek memiliki anggaran bahan bakar Rp 2.400.000 per hari.

Pertanyaan:

1. Berapa maksimal jumlah Excavator (\(x\)) dan Bulldozer (\(y\)) yang dapat dioperasikan tanpa melebihi anggaran bahan bakar?
   
2. Jika Excavator harus selalu berjumlah minimal setengah dari Bulldozer, buat model matematika pembatasnya.

7.9.2 Soal 2

Penentuan Harga dan Kuantitas Produk Tambang untuk Maksimalkan Keuntungan

Latar Belakang:
Perusahaan tambang memproduksi produk yang dijual dengan harga \(P\) (Rp/ton) dan jumlah penjualan \(x\) ton. Fungsi permintaan:
\[ P = 2000 - 0.5x \]
Biaya produksi:
\[ C = 500x + 200,000 \]
Keuntungan:
\[ L = Px - C \]

Pertanyaan:

1. Tuliskan fungsi keuntungan dalam variabel \(x\).
   
2. Berapa banyak produksi (\(x\)) yang menghasilkan keuntungan maksimal? (gunakan turunan dan carilah titik maksimum)
   
3. Berapa harga jualnya pada produksi optimal?

7.9.3 Soal 3

Prediksi Depresiasi Nilai Mesin dengan Penyesuaian Tahunan

Latar Belakang:
Sebuah mesin dibeli seharga Rp 3 miliar dan menyusut nilainya sebesar 10% dari nilai tahun sebelumnya setiap tahun. Selain itu, biaya perawatan tahunan tetap Rp 50 juta.

Pertanyaan:

1. Buat persamaan nilai mesin \(V_t\) setelah \(t\) tahun.
   
2. Buat persamaan total biaya (depresiasi + perawatan) hingga tahun ke-\(t\).
   
3. Hitung nilai mesin dan total biaya setelah 5 tahun.

7.9.4 Soal 4

Perencanaan Jadwal Pengiriman dan Kapasitas Truk

Latar Belakang:
Sebuah perusahaan pengiriman memiliki truk dengan kapasitas 8 ton dan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Jarak tempuh rute adalah 160 km satu arah. Truk dapat melakukan pengiriman selama 10 jam per hari. Setiap kali pengiriman memerlukan waktu bongkar muat selama 30 menit.

Pertanyaan:

1. Berapa banyak pengiriman bolak-balik yang dapat dilakukan truk dalam sehari?
   
2. Jika setiap pengiriman membawa 6 ton, berapa total barang yang dapat diangkut dalam sehari?
   
3. Buat persamaan total waktu yang diperlukan untuk \(n\) pengiriman.

7.9.5 Soal 5

Model Perencanaan Persediaan Material dengan Fungsi Permintaan dan Pengiriman

Latar Belakang:
Permintaan material proyek diperkirakan mengikuti fungsi:
\[ D(t) = 500 + 20t \]
dengan \(t\) dalam hari, \(D(t)\) adalah jumlah material yang dibutuhkan pada hari ke-\(t\). Pengiriman material dilakukan sekali sehari dengan jumlah tetap \(S\) ton.

Pertanyaan:

1. Tuliskan persamaan stok material \(I(t)\) pada hari \(t\) dengan asumsi stok awal \(I(0) = 1000\) ton.
   
2. Tentukan nilai \(S\) agar stok tidak pernah habis dalam 10 hari.
   
3. Jika stok awal berubah menjadi 500 ton, bagaimana pengaruhnya terhadap kebutuhan \(S\)?