| Iterasi | \(a\) | \(b\) | \(c=(a+b)/2\) | \(f(c)\) | Interval Baru |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 2.500000 | 2.50000000 | 1.2500000 | [2.000000, 2.500000] |
| 2 | 2.000000 | 2.250000 | 2.25000000 | 0.0625000 | [2.000000, 2.250000] |
| 3 | 2.125000 | 2.250000 | 2.12500000 | -0.4843750 | [2.125000, 2.250000] |
| 4 | 2.187500 | 2.250000 | 2.18750000 | -0.2148438 | [2.187500, 2.250000] |
| 5 | 2.218750 | 2.250000 | 2.21875000 | -0.0771484 | [2.218750, 2.250000] |
| 6 | 2.234375 | 2.250000 | 2.23437500 | -0.0075684 | [2.234375, 2.250000] |
| 7 | 2.234375 | 2.242188 | 2.24218750 | 0.0274048 | [2.234375, 2.242188] |
| 8 | 2.234375 | 2.238281 | 2.23828125 | 0.0099030 | [2.234375, 2.238281] |
| 9 | 2.234375 | 2.236328 | 2.23632812 | 0.0011635 | [2.234375, 2.236328] |
| 10 | 2.235352 | 2.236328 | 2.23535156 | -0.0032034 | [2.235352, 2.236328] |
| 11 | 2.235840 | 2.236328 | 2.23583984 | -0.0010202 | [2.235840, 2.236328] |
| 12 | 2.235840 | 2.236084 | 2.23608398 | 7.1585e-05 | [2.235840, 2.236084] |
| 13 | 2.235962 | 2.236084 | 2.23596191 | -0.0004743 | [2.235962, 2.236084] |
| 14 | 2.236023 | 2.236084 | 2.23602295 | -0.0002014 | [2.236023, 2.236084] |
| 15 | 2.236053 | 2.236084 | 2.23605347 | -6.4894e-05 | [2.236053, 2.236084] |
| 16 | 2.236053 | 2.236069 | 2.23606873 | 3.3455e-06 | [2.236053, 2.236069] |
| 17 | 2.236061 | 2.236069 | 2.23606110 | -3.0774e-05 | [2.236061, 2.236069] |
| 18 | 2.236065 | 2.236069 | 2.23606491 | -1.3714e-05 | [2.236065, 2.236069] |
| 19 | 2.236067 | 2.236069 | 2.23606682 | -5.1844e-06 | [2.236067, 2.236069] |
| 20 | 2.236068 | 2.236069 | 2.23606777 | -9.1942e-07 | [2.236068, 2.236069] |
6 Metode Numerik
Dalam Teknik Pertambangan, banyak fenomena rekayasa yang bersifat kompleks dan memerlukan pendekatan matematika untuk dianalisis. Persamaan nonlinear muncul dalam berbagai aplikasi, seperti perhitungan aliran air tanah di tambang, tekanan gas pada ventilasi bawah tanah, dan karakteristik batuan yang tidak linier.
Persamaan nonlinear adalah persamaan dalam bentuk umum \(f(x) = 0\), di mana \(f(x)\) bukan fungsi linear, melainkan melibatkan eksponen, logaritma, trigonometri, eksponensial, atau kombinasi bentuk nonlinear lainnya.
6.1 Persamaan Nonlinear
Berikut adalah beberapa bentuk umum persamaan nonlinear yang sering muncul dalam permasalahan teknik pertambangan, lengkap dengan contoh aplikasinya:
6.1.1 Kuadrat (Parabolik)
\[f(x) = ax^2 + bx + c\]
Contoh aplikasi: Perhitungan trajektori material saat proses peledakan, atau untuk menganalisis kestabilan lereng berdasarkan ketinggian dan jarak. Misalnya, tinggi maksimum material yang dilempar ke udara setelah peledakan: \(h(t) = -4.9t^2 + 20t + 2\). Di mana \(t\) adalah waktu dalam detik, dan \(h(t)\) adalah ketinggian.
6.1.2 Polinomial Tingkat Tinggi
\[f(x) = x^3 - 5x + 2\]
Contoh aplikasi: Modeling hubungan nonlinear antara tekanan, suhu, dan volume dalam sistem termodinamika tambang bawah tanah, atau estimasi deformasi struktur tambang akibat gaya-gaya kompleks.
6.1.3 Eksponensial
\[f(x) = e^{-kx} - P\]
Contoh aplikasi: Menjelaskan peluruhan tekanan dalam sistem pipa ventilasi tambang bawah tanah atau penurunan kandungan bahan kimia selama proses leaching. Contoh: \(f(x) = e^{-0.3x} - 0.5\), digunakan untuk melihat kapan tekanan menurun di bawah batas aman.
6.1.4 Logaritmik
\[f(x) = \ln(x) - a\]
Contoh aplikasi: Menentukan hubungan antara porositas batuan dan permeabilitas dalam simulasi aliran fluida di bawah permukaan. Misalnya: \(\ln(k) = \phi - 2.3\), dengan \(\phi\) adalah porositas, \(k\) adalah permeabilitas.
6.1.5 Trigonometri
\[f(x) = \sin(x) - \frac{x}{2}\]
Contoh aplikasi: Model gelombang seismik dalam proses eksplorasi geofisika, atau untuk analisis getaran akibat peledakan pada tambang terbuka. Digunakan untuk memodelkan perubahan intensitas gelombang terhadap jarak dan waktu dari sumber getaran.
6.2 Metode Penyelesaian
Karena banyak persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka kita menggunakan Metode Numerik (Iteratif) untuk mencari akar (solusi) dari \(f(x) = 0\). Metode numerik yang umum digunakan antara lain:
6.2.1 Metode Biseksi
Metode Biseksi bekerja dengan mempersempit interval \([a, b]\) yang mengandung akar.
Langkah:
- Hitung \(f(a)\) dan \(f(b)\), pastikan \(f(a) \cdot f(b) < 0\)
- Hitung titik tengah \(c = \frac{a + b}{2}\)
- Evaluasi \(f(c)\)
- Tentukan subinterval baru \([a, c]\) atau \([c, b]\) tergantung tanda
- Ulangi hingga konvergen
Contoh Terapan Metode Biseksi
Dalam dunia pertambangan, banyak fenomena fisik yang dimodelkan dengan persamaan nonlinear, misalnya tekanan air pori, tekanan gas, gelombang seismik, hingga porositas batuan.
Salah satu contoh bentuk fungsi nonlinear adalah:
\[ f(x) = x^2 - 5 \]
Tujuan kita adalah mencari nilai \(x\) sedemikian sehingga:
\[ f(x) = 0 \]
Pelih Interval Awal \([a, b]\)
Karena kita ingin mencari akar positifnya, kita pilih interval awal di sekitar \(x = 2.236\).
- Coba \(x = 2\), \(f(2) = 4 - 5 = -1\) (negatif)
- Coba \(x = 3\), \(f(3) = 9 - 5 = 4\) (positif)
Karena terjadi perubahan tanda:
\[ f(2) \cdot f(3) = (-1)(4) = -4 < 0 \]
Maka interval awal yang valid adalah:
\[ [a, b] = [2, 3] \]
Algoritma Metode Biseksi
Iterasi metode biseksi dilakukan dengan mencari titik tengah:
\[ c = \frac{a + b}{2} \]
dan menghitung \(f(c)\). Jika \(f(c) = 0\), maka \(c\) adalah akar. Jika tidak, kita periksa tanda dari \(f(c)\):
- Jika \(f(a) \cdot f(c) < 0\), maka akar ada di \([a, c]\)
- Jika \(f(c) \cdot f(b) < 0\), maka akar ada di \([c, b]\)
Iterasi dilanjutkan hingga panjang interval \(|b - a| < \varepsilon\), dengan \(\varepsilon\) adalah toleransi error, misalnya \(\varepsilon = 0.001\).
Tabel Iterasi
Konvergensi
Panjang interval akhir:
\[ |b - a| = |2.235839844 - 2.235351563| = 0.000488281 < 0.001 \]
Sehingga solusi telah konvergen pada:
\[ x \approx 2.2358 \]
Visualisasi Metode Biseksi
Berikut ini dilampirkan Kode Python untuk memperlihatkan proses pencarian titik penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Secant secara visual.
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
# Fungsi yang ingin dicari akarnya
def f(x):
return x**2 - 5
# Fungsi Metode Biseksi
def bisection_iterations(f, a0, b0, tol=1e-3, max_iter=20):
iterations = []
a, b = a0, b0
for i in range(max_iter):
c = (a + b) / 2
fc = f(c)
iterations.append((i + 1, a, b, c, fc))
if abs(fc) < tol or abs(b - a) < tol:
break
if f(a) * fc < 0:
b = c
else:
a = c
return iterations
# Parameter awal
a0, b0 = 2, 3
iter_data = bisection_iterations(f, a0, b0)
# Nilai untuk visualisasi fungsi
x_vals = np.linspace(1.5, 3.5, 400)
y_vals = f(x_vals)
min_y, max_y = min(y_vals), max(y_vals)
# Frame untuk animasi tiap iterasi
frames = []
for i, (iter_num, a, b, c, fc) in enumerate(iter_data):
frames.append(go.Frame(
data=[
go.Scatter(x=x_vals, y=y_vals, mode="lines", name="f(x)"),
go.Scatter(x=[c], y=[fc], mode="markers",
marker=dict(color='red', size=10),
name=f"c (iter {iter_num})"),
go.Scatter(x=[a, a], y=[min_y, max_y], mode="lines",
line=dict(dash="dash", color="orange"), showlegend=False),
go.Scatter(x=[b, b], y=[min_y, max_y], mode="lines",
line=dict(dash="dash", color="orange"), showlegend=False),
go.Scatter(x=[a0, a0], y=[min_y, max_y], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="a0"),
go.Scatter(x=[b0, b0], y=[min_y, max_y], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="b0"),
],
name=f"Iterasi {iter_num}"
))
# Inisialisasi animasi
fig = go.Figure(
data=[
go.Scatter(x=x_vals, y=y_vals, mode="lines", name="f(x)"),
go.Scatter(x=[iter_data[0][3]], y=[iter_data[0][4]], mode="markers",
marker=dict(color='red', size=10), name="c"),
go.Scatter(x=[a0, a0], y=[min_y, max_y], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="a0"),
go.Scatter(x=[b0, b0], y=[min_y, max_y], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="b0"),
],
layout=go.Layout(
title="Animasi Iterasi Metode Biseksi dengan Interval Awal",
xaxis=dict(title="x"),
yaxis=dict(title="f(x)", zeroline=True),
updatemenus=[
dict(
type="buttons",
showactive=False,
buttons=[
dict(label="Play", method="animate",
args=[None, {"frame": {"duration": 1000, "redraw": True},
"fromcurrent": True}])
]
)
]
),
frames=frames
)
fig.show()Kesimpulan
Dengan Metode Biseksi, akar dari fungsi nonlinear sederhana seperti \(f(x) = x^2 - 5\) dapat ditemukan secara numerik meski tidak menggunakan turunan. Metode ini sangat andal dan stabil digunakan dalam perhitungan geoteknik dan geofisika dalam dunia pertambangan.
Interpretasi Hasil
Solusi \(x \approx 2.236\) bisa dimaknai sebagai:
Kedalaman 2.236 meter dari permukaan tanah di mana tekanan air pori = 0 — transisi dari kondisi kapiler (tekanan negatif) ke jenuh (tekanan positif). Titik ini penting untuk:
- Analisis kestabilan lereng tambang terbuka
- Identifikasi muka air tanah
- Desain sistem drainase tambang
6.2.2 Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson digunakan untuk mencari akar dari fungsi nonlinear secara iteratif, dengan memanfaatkan turunan pertama dari fungsi tersebut.
Algoritma Metode Newton
Pilih tebakan awal \(x_0\)
Hitung turunan \(f'(x)\) dari fungsi \(f(x)\)
Iterasikan rumus:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
Ulangi hingga selisih \(|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon\) (toleransi)
Contoh Terapan Metode Newton
Mari kita gunakan fungsi yang sama seperti sebelumnya:
\[ f(x) = x^2 - 5 \]
Turunannya adalah:
\[ f'(x) = 2x \]
Pilih Awal \(x_0\)
Gunakan tebakan awal \(x_0 = 2\) karena akar positif dari \(x^2 = 5\) berada di sekitar 2.236.
Iterasi Newton-Raphson
Gunakan rumus iteratif:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 5}{2x_n} \]
Tabel Iterasi
| Iterasi | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(f'(x_n)\) | \(x_{n+1}\) | |\(x_{n+1} - x_n\)| |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2.000000 | -1.000000 | 4.000000 | 2.250000 | 0.250000 |
| 1 | 2.250000 | 0.062500 | 4.500000 | 2.236111 | 0.013889 |
| 2 | 2.236111 | 0.000193 | 4.472222 | 2.236068 | 0.000043 |
| 3 | 2.236068 | 1.86e-09 | 4.472136 | 2.236068 | \(\approx 0\) |
| 4 | 2.236068 | 8.88e-16 | 4.472136 | 2.236068 | \(\approx 0\) |
Konvergensi
Setelah 3 iterasi, solusi konvergen ke:
\[ x \approx 2.236068 \]
Dengan error di bawah \(\varepsilon = 0.001\)
Visualisasi Metode Newton
Berikut ini dilampirkan Kode Python untuk memperlihatkan proses pencarian titik penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Secant secara visual.
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
# Fungsi dan turunannya
def f(x):
return x**2 - 5
def df(x):
return 2 * x
# Fungsi iterasi Newton-Raphson
def newton_iterations(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=20):
iterations = []
x = x0
for i in range(max_iter):
fx = f(x)
dfx = df(x)
if dfx == 0:
break
x_new = x - fx / dfx
iterations.append((i + 1, x, x_new, fx))
if abs(x_new - x) < tol:
break
x = x_new
return iterations
# Parameter awal
x0 = 3.0
iter_data = newton_iterations(f, df, x0)
# Sumbu x dan y untuk plot fungsi
x_vals = np.linspace(1.5, 3.5, 400)
y_vals = f(x_vals)
# Membuat frame animasi
frames = []
for i, (iter_num, x_old, x_new, fx) in enumerate(iter_data):
tangent_line_x = np.linspace(x_old - 0.5, x_old + 0.5, 50)
tangent_line_y = f(x_old) + df(x_old) * (tangent_line_x - x_old)
frames.append(go.Frame(
data=[
go.Scatter(x=x_vals, y=y_vals, mode="lines", name="f(x)"),
go.Scatter(x=[x_old], y=[f(x_old)], mode="markers",
marker=dict(color='red', size=10), name=f"x (iter {i+1})"),
go.Scatter(x=tangent_line_x, y=tangent_line_y, mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="green"), name="Tangent Line"),
go.Scatter(x=[x0, x0], y=[min(y_vals), max(y_vals)], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="x0"),
],
name=f"Iterasi {i+1}"
))
# Plot awal
fig = go.Figure(
data=[
go.Scatter(x=x_vals, y=y_vals, mode="lines", name="f(x)"),
go.Scatter(x=[iter_data[0][1]], y=[f(iter_data[0][1])],
mode="markers", marker=dict(color='red', size=10), name="x"),
go.Scatter(x=[x0, x0], y=[min(y_vals), max(y_vals)], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="x0"),
],
layout=go.Layout(
title="Animasi Iterasi Metode Newton-Raphson",
xaxis=dict(title="x"),
yaxis=dict(title="f(x)", zeroline=True),
updatemenus=[dict(
type="buttons",
showactive=False,
buttons=[dict(label="Play", method="animate", args=[None,
{"frame": {"duration": 1000, "redraw": True},
"fromcurrent": True
}])]
)]
),
frames=frames
)
fig.show()Kesimpulan
- Sangat cepat (konvergen secara kuadratik)
- Butuh fungsi turunan yang tidak nol di sekitar akar
- Cocok untuk fungsi halus dan kontinu, seperti dalam perhitungan tekanan air pori, fluks fluida, dan deformasi batuan tambang
6.2.3 Metode Secant
Metode Secant adalah metode iteratif yang digunakan untuk mencari akar dari fungsi nonlinear dengan menggunakan dua tebakan awal yang berbeda dan menggantikan turunan dengan perbedaan antara dua nilai fungsi.
Algoritma Metode Secant
Pilih dua tebakan awal, \(x_0\) dan \(x_1\)
Iterasikan rumus secant:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \]
Ulangi hingga selisih \(|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon\) (toleransi)
Contoh Terapan Metode Secant
Mari kita gunakan fungsi yang sama seperti sebelumnya:
\[ f(x) = x^2 - 5 \]
Tebakan Awal \(x_0\) dan \(x_1\)
Untuk mencari akar dari fungsi ini, pilih dua tebakan awal:
- \(x_0 = 2\)
- \(x_1 = 3\)
Iterasi Metode Secant
Rumus Secant untuk iterasi adalah:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \]
Di mana \(f(x_n) = x_n^2 - 5\) dan iterasi dimulai dengan \(x_0 = 2\) dan \(x_1 = 3\).
Tabel Iterasi
| Iterasi | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(x_{n+1}\) | |\(x_{n+1} - x_n\)| |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3.000000 | \(4.000000\) | 2.200000 | 0.800000 |
| 1 | 2.200000 | \(-0.160000\) | 2.230769 | 0.030769 |
| 2 | 2.230769 | \(-0.023669\) | 2.236111 | 0.005342 |
| 3 | 2.236111 | \(0.000193\) | 2.236068 | 0.000043 |
| 4 | 2.236068 | \(-2.2882e-07\) | 2.236068 | \(\approx 0\) |
Konvergensi
Setelah 3 iterasi, solusi konvergen ke:
\[ x \approx 2.236068 \]
Dengan error di bawah \(\varepsilon = 0.001\)
Visualisasi Metode Secant
Berikut ini dilampirkan Kode Python untuk memperlihatkan proses pencarian titik penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Secant secara visual.
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
# Fungsi
def f(x):
return x**2 - 5
# Fungsi iterasi Secant
def secant_iterations(f, x0, x1, tol=1e-6, max_iter=20):
iterations = []
for i in range(max_iter):
if f(x1) - f(x0) == 0:
break
x2 = x1 - f(x1)*(x1 - x0)/(f(x1) - f(x0))
iterations.append((i+1, x0, x1, x2))
if abs(x2 - x1) < tol:
break
x0, x1 = x1, x2
return iterations
# Nilai awal
x0 = 2.0
x1 = 3.0
iter_data = secant_iterations(f, x0, x1)
# Fungsi untuk plot
x_vals = np.linspace(1.5, 3.5, 400)
y_vals = f(x_vals)
# Frame animasi
frames = []
for i, (n, x_prev, x_curr, x_next) in enumerate(iter_data):
secant_x = np.linspace(x_prev, x_curr, 50)
secant_slope = (f(x_curr) - f(x_prev)) / (x_curr - x_prev)
secant_y = f(x_curr) + secant_slope * (secant_x - x_curr)
frames.append(go.Frame(
data=[go.Scatter(x=x_vals, y=y_vals, mode="lines", name="f(x)"),
go.Scatter(x=[x_prev, x_curr], y=[f(x_prev), f(x_curr)],
mode="markers", marker=dict(size=8, color="red"), name="x_n, x_n-1"),
go.Scatter(x=secant_x, y=secant_y, mode="lines", line=dict(dash="dot",
color="green"), name="Secant Line"),
go.Scatter(x=[x0, x1], y=[min(y_vals), max(y_vals)], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="Initial Interval")
],
name=f"Iterasi {n}"
))
# Visual awal
fig = go.Figure(
data=[
go.Scatter(x=x_vals, y=y_vals, mode="lines", name="f(x)"),
go.Scatter(x=[x0, x1], y=[f(x0), f(x1)], mode="markers",
marker=dict(size=8, color="red"), name="x0, x1"),
go.Scatter(x=[x0, x0], y=[min(y_vals), max(y_vals)], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="x0"),
go.Scatter(x=[x1, x1], y=[min(y_vals), max(y_vals)], mode="lines",
line=dict(dash="dot", color="blue"), name="x1"),
],
layout=go.Layout(
title="Animasi Iterasi Metode Secant",
xaxis=dict(title="x"),
yaxis=dict(title="f(x)", zeroline=True),
updatemenus=[dict(
type="buttons",
showactive=False,
buttons=[dict(label="Play", method="animate", args=[None, {
"frame": {"duration": 1000, "redraw": True},
"fromcurrent": True
}])]
)]
),
frames=frames
)
fig.show()Kesimpulan Metode Secant
- Tidak memerlukan turunan dari fungsi.
- Lebih sederhana daripada Metode Newton-Raphson.
- Cocok untuk fungsi yang tidak memiliki turunan eksplisit atau ketika turunan sulit dihitung.
- Bisa lebih lambat daripada Newton-Raphson, namun tetap efektif jika tebakan awal cukup baik.
6.3 Contoh Studi Kasus
Sebuah perusahaan ingin memaksimalkan efisiensi produksi berdasarkan jumlah pekerja (\(x\)) dan jam kerja per hari (\(y\)). Fungsi efisiensi ditentukan oleh:
\[ \text{Efisiensi} = \frac{x \cdot y}{x + y + 1} \]
Namun, setiap kombinasi pekerja dan jam kerja juga menghasilkan biaya operasional yang dihitung dengan fungsi:
\[ \text{Biaya} = x^2 + y^2 \]
Perusahaan melakukan iterasi untuk mencari kombinasi terbaik \(x\) dan \(y\) yang menghasilkan efisiensi maksimum dengan biaya yang tetap terkendali. Titik-titik iterasi diamati sebagai berikut:
| Iterasi | Jumlah Pekerja (\(x\)) | Jam Kerja (\(y\)) | Efisiensi | Biaya |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 0.89 | 8 |
| 2 | 5 | 4 | 1.82 | 41 |
| 3 | 8 | 6 | 2.37 | 100 |
| 4 | 11 | 7 | 2.68 | 170 |
| 5 | 14 | 9 | 2.95 | 277 |
| 6 | 17 | 10 | 3.12 | 389 |
| 7 | 20 | 12 | 3.33 | 528 |
| 8 | 23 | 13 | 3.48 | 618 |
| 9 | 25 | 14 | 3.57 | 725 |
| 10 | 28 | 15 | 3.65 | 829 |
| 11 | 30 | 16 | 3.72 | 976 |
| 12 | 33 | 18 | 3.78 | 1,149 |
| 13 | 35 | 19 | 3.83 | 1,361 |
| 14 | 38 | 20 | 3.88 | 1,528 |
| 15 | 40 | 22 | 3.91 | 1,664 |
| 16 | 42 | 23 | 3.94 | 1,788 |
| 17 | 45 | 24 | 3.97 | 2,041 |
| 18 | 48 | 26 | 4.00 | 2,300 |
| 19 | 50 | 27 | 4.02 | 2,529 |
| 20 | 53 | 28 | 4.04 | 2,809 |
6.3.1 Pertanyaan
- Tentukan kombinasi pekerja dan jam kerja yang memberikan efisiensi maksimum.
- Berapa biaya yang harus dikeluarkan pada titik efisiensi maksimum tersebut?
- Jelaskan trade-off antara efisiensi dan biaya berdasarkan animasi iterasi.
- Jika perusahaan ingin menjaga biaya di bawah 200, berapa efisiensi maksimal yang bisa dicapai?
6.3.2 Pembahasan
Efisiensi Maksimum
Dari tabel dan animasi, efisiensi tertinggi terjadi pada iterasi ke-15: - \(x = 40\), \(y = 22\), Efisiensi = 3.91 (Iterasi 15)
Biaya pada Efisiensi Maksimum
Untuk menghitung biaya pada titik efisiensi maksimum: \[ \text{Biaya} = 40^2 + 22^2 = 1600 + 484 = 2084 \]
Trade-off Efisiensi vs Biaya
- Semakin besar \(x\) dan \(y\), efisiensi meningkat secara melambat, tetapi biaya meningkat tajam.
- Terlihat bahwa dari iterasi 13 ke 15, kenaikan efisiensi dari 3.83 ke 3.91 hanya sekitar 0.08, sedangkan biaya naik 303 poin.
- Artinya: ada diminishing return — efisiensi naik sedikit, tetapi biaya naik tajam.
Batas Biaya < 200
Dari tabel, hanya iterasi ke-1 hingga ke-4 yang memenuhi syarat:
- Efisiensi maksimum di bawah batas biaya ini adalah pada iterasi ke-4, dengan:
- Efisiensi = 2.68
- Biaya = 170
6.3.3 Kesimpulan
- Kombinasi terbaik secara efisiensi: ( (x = 40, y = 22) ), pada iterasi ke-15.
- Tetapi, untuk batas biaya tertentu, pilihan optimal bisa berbeda.
- Visualisasi 4D membantu memahami interaksi antar variabel dan dampaknya secara intuitif.
6.3.4 Visualisasi
6.4 Studi Kasus Tambang
6.4.1 Tekanan Air Pori
Dalam desain kestabilan lereng tambang terbuka, tekanan air pori (\(u\)) sangat memengaruhi faktor keamanan. Salah satu model umum:
\[ u(h) = \gamma_w h - \alpha e^{-kh} \]
dengan:
- \(h\): kedalaman dari permukaan
- \(\gamma_w\): berat jenis air (misalnya 9.81 kN/m³)
- \(\alpha, k\): parameter karakteristik batuan (misal \(\alpha = 30\), \(k = 0.8\))
Tujuan
Menentukan kedalaman \(h\) saat tekanan air pori \(u(h) = 0\) (titik transisi jenuh-tidak jenuh).
Instruksi
- Definisikan fungsi nonlinear:
\[ f(h) = \gamma_w h - \alpha e^{-kh} \] - Tentukan \(f(h) = 0\) → akar dari fungsi
- Gunakan metode numerik:
- Newton-Raphson: \(h_{n+1} = h_n - \frac{f(h_n)}{f'(h_n)}\)
- Atau Metode Secant jika turunan sulit
- Gunakan nilai awal \(h_0 = 2\), toleransi \(\varepsilon = 0.001\)
- Iterasi hingga \(|f(h_n)| < \varepsilon\)
6.4.2 Distribusi Tekanan Udara
Ventilasi tambang bawah tanah sering kali dianalisis menggunakan:
\[ P(x) = P_0 e^{-k x} \]
Jika ditambahkan persamaan rugi tekanan, misalnya:
\[ P(x) = \frac{P_0}{1 + a e^{k x}} \]
maka bentuknya menjadi nonlinear dan tidak bisa diselesaikan secara langsung.
Tujuan
Menentukan posisi \(x\) saat tekanan turun di bawah ambang, misal \(P(x) = 20\) kPa.
Instruksi
- Definisikan fungsi: \[ f(x) = \frac{P_0}{1 + a e^{k x}} - 20 \]
- Cari nilai \(x\) sehingga \(f(x) = 0\)
- Gunakan metode numerik (Newton-Raphson atau Secant)
- Asumsikan \(P_0 = 100\), \(a = 3\), \(k = 0.4\), coba nilai awal \(x_0 = 3\)
6.4.3 Penentuan Regangan Batuan
Model empiris batuan sering kali mengikuti hubungan nonlinear:
\[ \sigma = E \cdot \epsilon + \beta \epsilon^2 \]
Misalnya:
- \(E = 4000\) MPa (Modulus Young)
- \(\beta = 50000\)
- Tegangan lapangan: \(\sigma = 25\) MPa
Tujuan
Hitung nilai regangan \(\epsilon\).
Instruksi
- Nyatakan ulang fungsi: \[ f(\epsilon) = E \cdot \epsilon + \beta \epsilon^2 - \sigma \]
- Substitusi nilai:
\[ f(\epsilon) = 4000 \cdot \epsilon + 50000 \cdot \epsilon^2 - 25 \] - Gunakan metode numerik untuk mencari \(\epsilon\):
- Metode Newton-Raphson:
\[ f'(\epsilon) = 4000 + 2 \cdot 50000 \cdot \epsilon \] - Mulai dengan \(\epsilon_0 = 0.005\)
- Metode Newton-Raphson:
- Iterasi hingga \(|f(\epsilon_n)| < 0.0001\)
6.4.4 Kesimpulan Studi Kasus
Ketiga kasus di atas menunjukkan bahwa Metode Numerik adalah alat penting dalam praktik teknik tambang:
- Membantu menyelesaikan persamaan nonlinear yang tidak bisa dipecahkan secara aljabar
- Digunakan dalam analisis tekanan air pori, sistem ventilasi, dan pengujian laboratorium batuan
- Memberikan solusi cepat dan akurat untuk pengambilan keputusan teknis lapangan
Dengan menguasai metode numerik, insinyur tambang dapat menjawab pertanyaan “berapa kedalaman jenuh?”, “di mana tekanan kritis terjadi?”, dan “berapa regangan batuan?” dengan presisi tinggi.
6.5 Latihan Soal
Gunakan metode Newton-Raphson untuk: \[ f(x) = x^3 - 4x + 1, \quad x_0 = 1 \]
Metode Secant untuk: \[ f(x) = \cos(x) - x,\quad x_0 = 0.5,\quad x_1 = 1 \]
Metode Biseksi (Regula Falsi) pada: \[ f(x) = e^{-x} - x,\quad [a, b] = [0, 1] \]
6.6 Penutup
Metode numerik merupakan alat penting dalam menyelesaikan persoalan teknik yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam konteks rekayasa pertambangan, metode seperti Biseksi, Newton-Raphson, dan Secant memungkinkan insinyur untuk memecahkan persamaan nonlinear yang muncul dalam analisis kestabilan lereng, perhitungan tekanan air pori, desain sistem drainase, dan berbagai aplikasi lainnya. Dengan memahami dan menerapkan metode numerik, insinyur tambang dapat mengambil keputusan teknis secara lebih presisi, efisien, dan berbasis data.