8 Pers. Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan salah satu cabang penting dalam matematika terapan yang mempelajari hubungan antara suatu fungsi dengan turunannya (Kreyszig, 2011). Secara umum, bentuk persamaan diferensial biasa dapat ditulis sebagai:
\[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \]
di mana:
- \(x\) adalah variabel bebas,
- \(y = y(x)\) adalah fungsi tak diketahui,
- \(y', y'', \dots, y^{(n)}\) adalah turunan pertama, kedua, hingga ke-\(n\) dari \(y\) terhadap \(x\).
Persamaan diferensial biasa merupakan dasar penting dalam matematika terapan dan ilmu rekayasa (Boyce & DiPrima, 2017).
Dalam konteks dunia teknik, khususnya teknik pertambangan, PDB digunakan untuk memodelkan fenomena-fenomena fisik yang kompleks dan dinamis, antara lain:
- Aliran air tanah di sekitar atau dalam tubuh tambang,
- Ventilasi udara dalam tambang bawah tanah,
- Pelapukan batuan akibat perubahan suhu dan kelembaban,
- Penyebaran suhu di dalam tanah atau batuan akibat aktivitas tambang.
Pemahaman terhadap PDB memungkinkan para insinyur pertambangan untuk:
- Membuat model prediktif yang membantu dalam pengambilan keputusan teknis,
- Melakukan simulasi dan evaluasi sistem tambang berdasarkan perubahan kondisi waktu-ke-waktu,
- Merancang peralatan dan prosedur kerja yang lebih efisien dan aman berdasarkan kondisi fisis tambang yang berubah secara dinamis.
Dengan demikian, penerapan PDB tidak hanya bersifat teoretis, tetapi juga sangat praktis dan berdampak langsung terhadap efisiensi operasional dan keselamatan kerja di industri pertambangan.
8.1 PDB Orde Satu
Salah satu contoh paling sederhana dari PDB Orde Satu adalah:
\[ \frac{dy}{dx} = ky \]
Apa artinya?
Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan suatu besaran \(y\) terhadap waktu atau jarak (\(x\)) sebanding dengan nilai \(y\) itu sendiri. Artinya, semakin besar \(y\), semakin cepat ia berubah (Zill, 2018).
- Jika \(k > 0\): maka nilai \(y\) akan bertambah dengan cepat — ini disebut pertumbuhan eksponensial.
- Jika \(k < 0\): maka nilai \(y\) akan menurun dengan cepat — ini disebut peluruhan eksponensial.
8.1.1 Peluruhan Gas Beracun
Di tambang bawah tanah, gas berbahaya seperti karbon monoksida (CO) atau metana (CH₄) dapat terakumulasi. Untuk mencegah bahaya ledakan atau keracunan, sistem ventilasi harus mampu mengurangi konsentrasi gas ini seiring waktu (Kreyszig, 2011).
Secara matematis, peluruhan konsentrasi gas tersebut dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial eksponensial sederhana berikut:
\[ \frac{dC}{dt} = -kC \]
Keterangan
- \(C = C(t)\) adalah konsentrasi gas pada waktu \(t\) (misalnya dalam ppm),
- \(t\) adalah waktu (misalnya dalam menit),
- \(k\) adalah konstanta peluruhan (negatif), yang mencerminkan efisiensi ventilasi; makin besar \(k\), makin cepat gas berkurang.
Penyelesaian Matematis
Langkah 1: Pisahkan variabel
\[ \frac{1}{C} \, dC = -k \, dt \]
Langkah 2: Integrasi kedua sisi
\[ \int \frac{1}{C} \, dC = \int -k \, dt \]
\[ \ln |C| = -kt + C_1 \]
Langkah 3: Pangkatkan kedua sisi
\[ C = e^{-kt + C_1} = Ce^{C_1} \cdot e^{-kt} \]
Misalkan \(C_0 = e^{C_1}\) adalah konsentrasi awal saat \(t = 0\), maka:
\[ C(t) = C_0 e^{-kt} \]
Interpretasi Solusi
- Ketika \(t = 0\), maka \(C(0) = C_0\) (sesuai kondisi awal).
- Ketika \(t \to \infty\), maka \(C(t) \to 0\), artinya konsentrasi gas mendekati nol seiring waktu.
- Nilai \(k\) menentukan seberapa cepat konsentrasi menurun. Jika \(k\) besar (misalnya karena ventilasi sangat efisien), gas akan cepat hilang.
Contoh Numerik
Misalkan:
- Konsentrasi awal gas: \(C_0 = 200\) ppm,
- Efisiensi ventilasi: \(k = 0{,}1\) per menit,
Maka konsentrasi gas setelah \(t\) menit adalah:
\[ C(t) = 200 e^{-0{,}1 t} \]
Contoh nilai:
Setelah 10 menit:
\[ C(10) = 200 e^{-1} \approx 200 \cdot 0{,}3679 \approx 73{,}6 \, \text{ppm} \]
Setelah 30 menit:
\[ C(30) = 200 e^{-3} \approx 200 \cdot 0{,}0498 \approx 9{,}96 \, \text{ppm} \]
8.1.2 Pertumbuhan Retakan
Dalam tambang bawah tanah, tekanan air tanah yang tinggi dapat menyebabkan pembukaan dan perluasan retakan pada dinding tambang. Untuk menjaga keamanan dan kestabilan tambang, penting bagi insinyur untuk memprediksi seberapa cepat retakan ini bertambah panjang (Kreyszig, 2011; Zill, 2018).
Model sederhana untuk pertumbuhan panjang retakan adalah:
\[ \frac{dl}{dt} = kl \]
Keterangan
- \(l = l(t)\) adalah panjang retakan pada waktu \(t\) (misalnya dalam cm),
- \(t\) adalah waktu (misalnya dalam hari atau jam),
- \(k\) adalah konstanta pertumbuhan yang menunjukkan seberapa cepat retakan berkembang, tergantung pada tekanan air tanah dan sifat material dinding tambang.
Penyelesaian Matematis
Persamaan diferensial orde satu:
\[ \frac{dl}{dt} = kl \]
dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel:
Langkah 1: Pisahkan variabel
\[ \frac{1}{l} \, dl = k \, dt \]
Langkah 2: Integrasi kedua sisi
\[ \int \frac{1}{l} \, dl = \int k \, dt \]
\[ \ln |l| = kt + C_1 \]
Langkah 3: Pangkatkan kedua sisi
\[ l = e^{kt + C_1} = C_0 e^{kt} \]
di mana \(C_0 = e^{C_1}\) adalah panjang retakan awal saat \(t=0\).
Interpretasi Solusi
- Pada waktu awal (\(t=0\)), panjang retakan adalah \(l(0) = C_0\).
- Seiring waktu, panjang retakan bertambah secara eksponensial, artinya semakin lama retakan semakin cepat berkembang.
- Nilai \(k\) menentukan laju pertumbuhan. Jika \(k\) kecil, pertumbuhan lambat; jika besar, retakan berkembang cepat dan perlu perhatian segera.
Contoh Numerik
Misalkan:
- Panjang awal retakan: \(l_0 = 1\) cm,
- Konstanta pertumbuhan: \(k = 0{,}05\) per hari,
Maka panjang retakan setelah \(t\) hari adalah:
\[ l(t) = 1 \cdot e^{0{,}05 t} = e^{0{,}05 t} \]
Contoh nilai:
Setelah 10 hari:
\[ l(10) = e^{0{,}5} \approx 1{,}65 \text{ cm} \]
Setelah 30 hari:
\[ l(30) = e^{1{,}5} \approx 4{,}48 \text{ cm} \]
8.1.3 Manfaat Model
Model ini membantu insinyur Insinyur Tambang untuk:
- Memperkirakan seberapa cepat retakan bertambah panjang dan kapan diperlukan tindakan penguatan,
- Merencanakan pemeliharaan dan pengawasan tambang agar lebih aman,
- Mengoptimalkan sistem pengendalian tekanan air tanah agar laju pertumbuhan retakan dapat dikendalikan.
8.2 Pers. Diferensial Orde Tinggi
8.2.1 Pers. Diferensial Homogen
Persamaan diferensial dikatakan homogen jika semua suku dalam persamaan hanya melibatkan fungsi yang dicari dan turunannya, tanpa adanya suku bebas (konstanta atau fungsi lain) (Zill, 2018).
Bentuk Umum
Persamaan diferensial linear homogen orde satu biasanya ditulis sebagai:
\[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \]
di mana:
- \(y = y(x)\) adalah fungsi tak diketahui,
- \(P(x)\) adalah fungsi yang diketahui (tergantung pada variabel \(x\)) (Boyce & DiPrima, 2017).
Contoh Spesifik
Misalkan diberikan persamaan:
\[ \frac{dy}{dx} - 3y = 0 \]
Di sini, \(P(x) = -3\) (konstanta) (Zill, 2018).
Penyelesaian Persamaan Homogen
Persamaan
\[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \]
dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel sebagai berikut:
Langkah 1: Pisahkan variabel \(y\) dan \(x\):
\[ \frac{dy}{y} = -P(x) \, dx \]
Langkah 2: Integrasikan kedua ruas:
\[ \int \frac{1}{y} \, dy = - \int P(x) \, dx \]
\[ \ln |y| = - \int P(x) \, dx + C \]
di mana \(C\) adalah konstanta integrasi (Boyce & DiPrima, 2017).
Langkah 3: Eksponensialkan kedua ruas untuk mendapatkan solusi eksplisit:
\[ y = Ce^{-\int P(x) \, dx} \]
Penyelesaian pada Persamaan Spesifik
Untuk persamaan:
\[ \frac{dy}{dx} - 3y = 0 \]
kita punya:
\[ P(x) = -3 \]
Maka,
\[ y = Ce^{-\int (-3) dx} = Ce^{3x} \]
Dengan demikian, solusi umum adalah:
\[ y(x) = Ce^{3x} \]
Ini sesuai dengan metode dan contoh yang dijelaskan di referensi pembelajaran (Academy, 2024).
Interpretasi Solusi
- Solusi berupa fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan atau peluruhan tergantung tanda dan nilai dari \(P(x)\).
- Jika \(P(x)\) positif, solusi akan meluruh; jika negatif, solusi akan tumbuh (Zill, 2018).
8.2.2 Pers. Diferensial Tak Homogen
Persamaan diferensial dikatakan tak homogen jika terdapat suku bebas (konstanta atau fungsi non-homogen lainnya) di dalam persamaan (Zill, 2018).
Bentuk Umum
Persamaan diferensial linear tak homogen orde satu memiliki bentuk umum:
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]
- \(P(x)\) dan \(Q(x)\) adalah fungsi dari \(x\),
- \(Q(x) \neq 0\) merupakan bagian non-homogen dari persamaan (Boyce & DiPrima, 2017).
Contoh Spesifik
\[ \frac{dy}{dx} - 3y = e^{2x} \]
Pada contoh ini:
- \(P(x) = -3\)
- \(Q(x) = e^{2x}\)
Penyelesaian
Solusi umum dari persamaan diferensial tak homogen terdiri dari dua bagian:
- Solusi homogen \((y_h)\): diselesaikan dari persamaan
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \] - Solusi khusus \((y_p)\): diselesaikan menggunakan metode faktor integrasi atau variasi parameter (Academy, 2024).
Penyelesaian dengan Faktor Integrasi
Hitung faktor integrasi:
\[ \mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} \]
Untuk contoh:
\[ \mu(x) = e^{\int -3 \, dx} = e^{-3x} \]
Kalikan seluruh persamaan dengan \(\mu(x)\):
\[ e^{-3x} \frac{dy}{dx} - 3e^{-3x} y = e^{-3x} e^{2x} \]
Ruas kiri menjadi turunan hasil kali:
\[ \frac{d}{dx}[e^{-3x}y] = e^{-x} \]
Integrasikan kedua sisi:
\[ e^{-3x}y = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C \]
Selesaikan untuk \(y\):
\[ y = e^{3x}(-e^{-x} + C) = -e^{2x} + Ce^{3x} \]
Maka solusi umum dari persamaan diferensial tak homogen tersebut adalah:
\[ y(x) = -e^{2x} + Ce^{3x} \]
Interpretasi
- Bagian \(Ce^{3x}\) adalah solusi dari persamaan homogen.
- Bagian \(-e^{2x}\) adalah solusi khusus yang memenuhi bentuk tak homogen.
8.3 Studi Kasus PDB
8.3.1 Aliran Air Tanah
Dalam operasi tambang terbuka maupun tambang bawah tanah, pengelolaan air tanah sangat penting untuk menjaga kestabilan lereng dan mencegah genangan air. Salah satu metode umum yang digunakan adalah pemompaan air tanah (dewatering).
Model Matematis
Proses penurunan muka air akibat pemompaan dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial:
\[ \frac{dh}{dt} = -kh \]
di mana:
- \(h(t)\) adalah tinggi muka air tanah terhadap waktu,
- \(k\) adalah konstanta positif yang menunjukkan laju pemompaan (dipengaruhi oleh kapasitas pompa dan permeabilitas tanah),
- \(t\) adalah waktu (dalam satuan tertentu, misalnya hari atau jam).
Penyelesaian Persamaan
Persamaan tersebut adalah PDB linear homogen orde satu. Solusi umumnya adalah:
\[ h(t) = h_0 e^{-kt} \]
di mana:
- \(h_0\) adalah tinggi muka air awal saat \(t = 0\).
Interpretasi Fisik
- Jika \(k\) besar, artinya laju penurunan air cepat, mencerminkan sistem pemompaan yang efisien.
- Jika \(k\) kecil, penurunan muka air lambat, bisa jadi karena debit pompa kecil atau tanah sulit ditembus airnya (impermeable).
Contoh Aplikasi
Misalkan:
- Tinggi muka air awal \(h_0 = 10\) meter,
- Konstanta \(k = 0{,}05 \, \text{jam}^{-1}\).
Maka setelah \(t = 24\) jam:
\[ h(24) = 10 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 24} \approx 10 \cdot e^{-1{,}2} \approx 10 \cdot 0{,}301 = 3{,}01 \, \text{meter} \]
Dalam waktu 1 hari, muka air turun dari 10 meter menjadi sekitar 3 meter — pemompaan cukup efektif. Model eksponensial ini sangat berguna dalam konteks teknik tambang karena dapat digunakan untuk memperkirakan waktu yang dibutuhkan guna menurunkan muka air ke tingkat yang aman, merancang sistem pemompaan yang optimal, serta menghindari potensi bahaya seperti longsor atau genangan air di area kerja tambang. Selain itu, model ini memiliki keunggulan karena mudah dihitung, memberikan estimasi yang cepat, dan cukup akurat untuk kondisi ideal, menjadikannya alat prediktif yang efektif dalam perencanaan dan pengambilan keputusan teknis (Kreyszig, 2011; Zill, 2018).
8.3.2 Ventilasi Tambang
Dalam operasi tambang terbuka, batuan yang terpapar udara terbuka dan air hujan secara terus-menerus akan mengalami pelapukan. Proses ini melibatkan reaksi kimia dan fisik antara batuan dengan air, udara, dan mikroorganisme, yang pada akhirnya menyebabkan penurunan kekuatan dan massa batuan (Kreyszig, 2011). Jika tidak dikendalikan, pelapukan dapat menurunkan stabilitas lereng tambang dan meningkatkan risiko longsor.
Model Matematis
Proses pelapukan ini dapat dimodelkan secara sederhana menggunakan persamaan diferensial:
\[ \frac{dM}{dt} = -kM \]
di mana:
- \(M(t)\) adalah massa batuan yang tersisa pada waktu \(t\),
- \(k\) adalah konstanta pelapukan (tergantung jenis batuan dan kondisi lingkungan),
- \(t\) adalah waktu (dalam satuan tertentu, misalnya bulan atau tahun) (Zill, 2018).
Penyelesaian Persamaan
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial linear homogen orde satu, dan solusinya adalah:
\[ M(t) = M_0 e^{-kt} \]
di mana:
- \(M_0\) adalah massa awal batuan saat \(t = 0\).
Solusi ini menunjukkan bahwa perubahan massa mengikuti model eksponensial berkurang (Zill, 2018).
Interpretasi Fisik
- Nilai \(k\) besar → pelapukan cepat → batuan cepat kehilangan massa dan kekuatan.
- Nilai \(k\) kecil → pelapukan lambat → batuan lebih tahan terhadap pelapukan.
Model ini menyatakan bahwa pelapukan berlangsung secara eksponensial, artinya pada awalnya massa batuan turun cepat, lalu melambat seiring waktu (Kreyszig, 2011).
Contoh Aplikasi
Misalkan:
- Massa awal batuan \(M_0 = 100\) ton,
- Nilai \(k = 0{,}02 \, \text{tahun}^{-1}\).
Maka setelah 10 tahun:
\[ M(10) = 100 \cdot e^{-0{,}02 \cdot 10} = 100 \cdot e^{-0{,}2} \approx 100 \cdot 0{,}8187 = 81{,}87 \, \text{ton} \]
Artinya: dalam 10 tahun, sekitar 18% massa batuan hilang akibat pelapukan. Ini menjadi dasar penting untuk perencanaan jangka panjang tambang (Zill, 2018).
8.3.3 Distribusi Suhu di Tanah
Dalam dunia pertambangan, suhu bawah tanah sangat berperan penting, khususnya untuk kenyamanan kerja di tambang bawah tanah dan untuk desain sistem ventilasi serta kestabilan termal batuan. Jika tidak ada sumber panas internal dan suhu hanya berubah akibat konduksi, maka distribusi suhu di bawah permukaan tanah dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial linear orde dua.
Model Matematis
Dalam kondisi steady-state (keadaan tunak, tanpa perubahan waktu), model satu dimensi konduksi panas dalam tanah secara sederhana dapat ditulis:
\[ \frac{d^2T}{dx^2} = 0 \]
di mana:
- \(T(x)\) adalah suhu pada kedalaman \(x\),
- \(x\) adalah jarak dari permukaan tanah,
- \(\frac{d^2T}{dx^2} = 0\) menyatakan bahwa tidak ada fluks panas berubah terhadap kedalaman — suhu berubah secara linier (Kreyszig, 2011).
Penyelesaian Persamaan
Persamaan diferensial orde dua ini memiliki solusi umum:
\[ T(x) = Ax + B \]
Dengan kondisi batas (boundary conditions) seperti:
- Suhu di permukaan: \(T(0) = T_0\),
- Suhu di kedalaman \(L\): \(T(L) = T_L\),
Kita dapat menentukan \(A\) dan \(B\):
\[ T(x) = \frac{T_L - T_0}{L}x + T_0 \]
Interpretasi Fisik
- Model ini menunjukkan bahwa suhu berubah secara linier terhadap kedalaman tanah dalam kondisi tunak.
- Gradien suhu diberikan oleh \(\frac{T_L - T_0}{L}\).
- Semakin besar perbedaan suhu \(T_L - T_0\), semakin tajam perubahan suhu dengan kedalaman.
- Model ini relevan untuk estimasi suhu batuan dan rancang ventilasi tambang saat tidak ada panas dari sumber dalam (misalnya, aktivitas magma atau gesekan mesin berat) (Zill, 2018).
Contoh Aplikasi
Misalnya:
- Suhu permukaan \(T_0 = 25^\circ\)C,
- Suhu pada kedalaman \(L = 100\) m adalah \(T_L = 45^\circ\)C,
Maka:
\[ T(x) = \frac{45 - 25}{100}x + 25 = 0{,}2x + 25 \]
- Pada kedalaman 50 meter:
\[ T(50) = 0{,}2 \cdot 50 + 25 = 35^\circ \text{C} \]
Artinya: suhu meningkat secara linear dari 25°C di permukaan ke 45°C pada kedalaman 100 meter.
Model ini sangat berguna karena:
- Memberikan estimasi cepat suhu bawah tanah,
- Digunakan dalam desain sistem pendingin atau ventilasi tambang,
- Membantu merencanakan kondisi kerja aman di tambang bawah tanah.
8.3.4 Penurunan Muka Air
Dalam praktik pertambangan, pemompaan air tanah (dewatering) sering dilakukan untuk mencegah genangan air. Namun, dalam kondisi musim hujan atau area tambang yang berada dekat dengan sungai atau danau, terdapat infiltrasi air dari permukaan yang masuk ke dalam sistem air tanah. Hal ini menjadikan model penurunan muka air lebih kompleks dan tidak bisa disederhanakan menjadi bentuk homogen.
Model Matematis
Model diferensial tak homogen yang menggambarkan kombinasi pemompaan dan infiltrasi air dari permukaan:
\[ \frac{dh}{dt} + kh = R \]
di mana:
- \(h(t)\) = tinggi muka air tanah (m),
- \(k\) = konstanta pemompaan (positif),
- \(R\) = laju infiltrasi air dari permukaan (m/jam), dianggap konstan untuk jangka waktu tertentu.
Model ini merupakan persamaan diferensial linear orde satu tak homogen (Zill, 2018).
Penyelesaian Persamaan
Langkah-langkah:
Hitung faktor integrasi:
\[ \mu(t) = e^{\int k\,dt} = e^{kt} \]
Kalikan seluruh persamaan dengan \(\mu(t)\):
\[ e^{kt}\frac{dh}{dt} + ke^{kt}h = Re^{kt} \]
\[ \frac{d}{dt}[e^{kt}h] = Re^{kt} \]
Integrasikan kedua sisi:
\[ e^{kt}h = \int Re^{kt}\,dt + C = \frac{R}{k}e^{kt} + C \]
Bagi dengan \(e^{kt}\):
\[ h(t) = \frac{R}{k} + Ce^{-kt} \]
Jika kondisi awal \(h(0) = h_0\) diketahui, maka:
\[ C = h_0 - \frac{R}{k} \]
Sehingga solusi akhirnya:
\[ h(t) = \frac{R}{k} + \left(h_0 - \frac{R}{k}\right)e^{-kt} \]
Interpretasi Fisik
- Jika tidak ada infiltrasi (\(R = 0\)), maka model kembali ke bentuk homogen.
- Jika \(R > 0\), maka penurunan muka air melambat seiring waktu karena adanya asupan air dari permukaan.
- Solusi memperlihatkan bahwa muka air akan mendekati nilai kesetimbangan \(\frac{R}{k}\) setelah waktu cukup lama.
Contoh Spesifik
Misalkan:
- Muka air awal \(h_0 = 12\) meter,
- Laju infiltrasi \(R = 2 \, \text{m/jam}\),
- Laju pemompaan \(k = 0{,}25 \, \text{jam}^{-1}\).
Maka solusi:
\[ h(t) = \frac{2}{0{,}25} + (12 - 8)e^{-0{,}25t} = 8 + 4e^{-0{,}25t} \]
Setelah 5 jam:
\[ h(5) = 8 + 4e^{-1{,}25} \approx 8 + 4(0{,}2865) \approx 9{,}15 \, \text{meter} \]
Artinya: setelah 5 jam, muka air turun dari 12 meter ke sekitar 9,15 meter. Namun, tidak akan turun terus-menerus karena ada suplai air dari permukaan.
Model ini sangat relevan dalam:
- Perencanaan pompa tambang di musim hujan,
- Menentukan debit pompa minimum agar genangan tidak terjadi,
- Menyusun skenario manajemen air yang realistis untuk tambang terbuka dan bawah tanah.
8.3.5 Penyebaran Panas Batang Logam
Dalam teknik tambang, pengendalian suhu pada peralatan dan struktur logam sangat penting untuk menjaga kestabilan dan keselamatan kerja. Model penyebaran panas dalam batang logam dapat dimodelkan menggunakan persamaan diferensial orde dua homogen.
Model Matematis
Misalkan \(T(x)\) adalah suhu pada posisi \(x\) sepanjang batang logam dengan panjang \(L\). Distribusi suhu sepanjang batang dapat dimodelkan oleh persamaan diferensial:
\[ \frac{d^2 T}{dx^2} - \alpha^2 T = 0 \]
dengan \(\alpha\) adalah konstanta yang bergantung pada sifat termal bahan. Diberikan \(\alpha = 2\), panjang batang \(L = 1\) meter, dan kondisi batas suhu:
- \(T(0) = T_0 = 100^\circ C\) (suhu ujung kiri),
- \(T(L) = T_L = 50^\circ C\) (suhu ujung kanan).
Tentukan fungsi suhu \(T(x)\) sepanjang batang.
Penyelesaian
- Persamaan karakteristik:
\[ r^2 - \alpha^2 = 0 \implies r = \pm \alpha = \pm 2 \]
- Solusi umum persamaan diferensial:
\[ T(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \]
- Gunakan kondisi batas:
- Pada \(x=0\):
\[ T(0) = C_1 + C_2 = 100 \]
- Pada \(x=1\):
\[ T(1) = C_1 e^{2} + C_2 e^{-2} = 50 \]
- Sistem persamaan linear:
\[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 100 \\ C_1 e^{2} + C_2 e^{-2} = 50 \end{cases} \]
- Selanjutnya, dapat diselesaikan untuk \(C_1\) dan \(C_2\).
Setelah menghitung,
\[ C_1 = \frac{50 - 100 e^{-2}}{e^{2} - e^{-2}}, \quad C_2 = 100 - C_1 \]
Sehingga,
\[ T(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \]
Interpretasi
- Distribusi suhu mengikuti kombinasi eksponensial,
- Kondisi batas menentukan profil suhu sepanjang batang,
- Model ini membantu menentukan kebutuhan pendinginan atau pemanasan pada titik tertentu.
8.4 Latihan Soal
- Sebuah tambang memiliki konsentrasi gas berbahaya 90 ppm yang turun menuju 20 ppm. Modelkan dengan \(k = 0.25\) dan tentukan \(C(t)\).
- Massa batuan menurun 3% per tahun. Jika awalnya 500 ton, berapa sisa massa setelah 10 tahun?
- Suhu permukaan tanah 25°C dan di kedalaman 200 m adalah 75°C. Tentukan rumus suhu terhadap kedalaman \(x\).