3  การประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์

Modified

6 พฤษภาคม 2568

ผู้อ่านควรมีความรู้และเข้าใจของนิยามของอนุพันธ์ และสามารถจดจำสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ ได้พอสมควร เพราะเนื้อหาในบทนี้จะพูดการการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ของประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์เป็นหลัก

นิยามของอนุพันธ์ (Derivative)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)\) ณ จุด \(x = a\) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน \(f\) เมื่อ \(x\) เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใกล้ \(a\) \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

ถ้าลิมิตนี้มีอยู่ จะกล่าวว่า \(f\) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ \(x = a\)

3.1 ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ (Differentiable Functions)

ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ เรียกว่าเป็น ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ (Differentiable Function)
ซึ่งจะต้องมีคุณสมบัติดังนี้:

เงื่อนไขสำคัญ

  1. ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่จุดนั้น (แต่ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง อาจไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ เช่น \(f(x) = |x|\) ที่ \(x = 0\))

  2. ลิมิตของอัตราการเปลี่ยนแปลงจากซ้ายและขวาต้องเท่ากัน นั่นคือ ค่าอนุพันธ์จากซ้ายและขวาต้องเหมือนกัน

3.2 ตัวอย่างฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชัน อนุพันธ์
\(f(x) = x^n\), \(n \in \mathbb{R}\) \(f'(x) = nx^{n-1}\)
\(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
\(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
\(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
\(f(x) = \ln(x)\) (เฉพาะ \(x > 0\)) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)

3.3 ตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ บางจุด

ฟังก์ชัน สาเหตุ
\(f(x) = |x|\) ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ \(x = 0\) เพราะกราฟหักมุม
\(f(x) = x^{1/3}\) อนุพันธ์ไม่มีที่ \(x = 0\) เพราะความชันไม่สิ้นสุด
ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง เช่น step function หรือฟังก์ชันที่กระโดด

เยี่ยมมากครับ! ต่อไปนี้คือวิธี หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน R ด้วยแพ็กเกจ caracas อย่างละเอียด พร้อมตัวอย่างและคำอธิบายครบครับ

3.4 อนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วยฟังก์ชัน der()

  1. ติดตั้งและเรียกใช้แพ็กเกจ
# เรียกใช้ทุกครั้งเมื่อใช้งานครั้งแรก
library(caracas)
  1. สร้างตัวแปรเชิงสัญลักษณ์ (symbolic variables)
x <- symbol("x")     # สร้างตัวแปร x
t <- symbol("t")     # สร้างตัวแปร t
  1. สร้างฟังก์ชันที่ต้องการหาอนุพันธ์

ตัวอย่าง:

f <- x^3 + 2*x^2 + 5*x + 1
f

\[x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 1\]

g <- t^3 * sin(t) + exp(t)+ log(t)
g

\[t^{3} \sin{\left(t \right)} + e^{t} + \log{\left(t \right)}\]

  1. หาอนุพันธ์ด้วย der()

เช่น

df <- der(f, x)
df

\[3 x^{2} + 4 x + 5\]

df1 <- der(f, t)
df1

\[0\]

dg <- der(g, t)
dg

\[t^{3} \cos{\left(t \right)} + 3 t^{2} \sin{\left(t \right)} + e^{t} + \frac{1}{t}\]

การแทนคำนวณค่าอนุพันธ์ที่ ณ จุดที่ต้องการด้วยฟังก์ชัน subs() หรือจะแปลงเป็นฟังก์ชันในอาร์ด้วย as_func() ก็ได้

# f'(0)
subs(df,x, 0)

\[5\]

# g'(1)
subs(dg, t, 1)

\[\cos{\left(1 \right)} + 1 + 3 \sin{\left(1 \right)} + e\]

หรือถ้าต้องการผลลัพธ์เป็นตัวเลขให้เพิ่่มฟังก์ชัน N()

# g'(1)
subs(dg, t, 1) |> N()

\[6.78299708875087\]

3.4.1 ตัวอย่างฟังก์ชันอื่น ๆ ที่คุณอาจใช้

ฟังก์ชัน คำสั่ง caracas
\(f(x) = \sin(x)\) f <- sin(x)
\(f(x) = \exp(x^2)\) f <- exp(x^2)
\(f(x) = \ln(x + 1)\) f <- log(x + 1)
\(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2}\) f <- (x^2 + 1)/(x + 2)

แล้วหาอนุพันธ์ด้วย der(f, x) ได้

3.5 อนุพันธ์อันดับสองด้วยฟังก์ชัน der2()

ขั้นตอนก็เหมือนกันการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น

df2 <- der2(f, x)

\[6 x + 4\]

dg2 <- der2(g, t)

\[- t^{3} \sin{\left(t \right)} + 6 t^{2} \cos{\left(t \right)} + 6 t \sin{\left(t \right)} + e^{t} - \frac{1}{t^{2}}\]

การคำนวณค่าอนุพันธ์อันดับของจุดที่ต้องการ ก็สามารถใช้ฟังก์ชัน subs() ได้เช่นเดียวกัน

3.6 การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์

การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์เป็นเรื่องใหญ่ของ การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ เช่น การหากำไรสูงสุด, ต้นทุนต่ำสุด, อรรถประโยชน์สูงสุด ฯลฯ

3.6.1 ขั้นตอนการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดด้วยอนุพันธ์

  1. \(f(x)\) ต้องเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้

หาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: \[ f'(x) \]

  1. หาค่าของ \(x\) ที่ทำให้ \(f'(x) = 0\) (เรียกว่า critical points หรือจุดวิกฤติ)

  2. ใช้อนุพันธ์อันดับสอง เพื่อตรวจสอบว่าแต่ละจุดเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

    • ถ้า \(f''(x) > 0\) \(\rightarrow\) จุดต่ำสุด

    • ถ้า \(f''(x) < 0\) \(\rightarrow\) จุดสูงสุด

    • ถ้า \(f''(x) = 0\) \(\rightarrow\) ต้องวิเคราะห์เพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 1

\[f(x) = x^3 - 3x + 1\]

การคำนวณโดยใช้ caracas

x <- symbol("x")
f <- x^3 - 3*x + 1
f

\[x^{3} - 3 x + 1\]

อนุพันธ์อันดับ 1

df <- der(f, x)
df

\[3 x^{2} - 3\]

อนุพันธ์อันดับ 2

ddf <- der2(f, x)
ddf

\[6 x\]

solve_sys(df, x)
x = -1
x = 1

แทนค่าลงในอนุพันธ์อันดับสอง

subs(ddf, x, -1)

\[-6\]

ดังนั้น \(f(-1)\) เป็นจุดสูงสุด

subs(ddf, x, 1)

\[6\]

ดังนั้น \(f(1)\) เป็นจุดต่ำสุด

วาดกราฟ

fx <- as_func(f)
curve(fx, from = -2, to = 2, col = "red")
grid()

ที่จุด \(x=-1\) และ \(x=1\) เป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่ (local maximum) และจุดต่ำสุดเฉพาะที่ (local minimum) ตามลำดับ ไม่ใช่ จุดสูงสุดสัมบูรณ์ (global maximum) และ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ (global minimum) ดังนั้นถ้าไม่ได้กำหนดช่วงมาให้ ต้องพิจารณาให้ดีว่าเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดแบบใด

3.7 การประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์

ด้านการประยุกต์ ตัวอย่าง / คำอธิบาย
1. ต้นทุนชายขอบ (Marginal Cost, MC) อัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนรวมเมื่อผลิตสินค้าเพิ่มขึ้นอีก 1 หน่วย
\(MC = \frac{dTC}{dQ}\)
2. รายรับชายขอบ (Marginal Revenue, MR) อัตราการเปลี่ยนแปลงของรายรับรวมจากการขายสินค้าเพิ่มขึ้น 1 หน่วย
\(MR = \frac{dTR}{dQ}\)
3. อรรถประโยชน์ชายขอบ (Marginal Utility) การเปลี่ยนแปลงของอรรถประโยชน์เมื่อบริโภคสินค้าเพิ่มขึ้น
\(MU_x = \frac{dU}{dx}\)
4. การเพิ่มผลผลิต (Marginal Product) ความเปลี่ยนแปลงของผลผลิตเมื่อเพิ่มปัจจัยการผลิต เช่น แรงงาน
\(MP_L = \frac{dQ}{dL}\)
5. การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชัน (Optimization) ใช้อนุพันธ์เพื่อหา จุดสูงสุดของกำไร, อรรถประโยชน์, รายได้ เป็นต้น โดยแก้ \(f'(x) = 0\)
6. อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคา (Price Elasticity) วิเคราะห์ว่าปริมาณเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนเมื่อราคาขยับ
\(E_p = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}\)
7. การเติบโตทางเศรษฐกิจ (Growth Rate) ใช้อนุพันธ์กับฟังก์ชันเช่น \(Y(t)\), \(K(t)\) เพื่อหาการเติบโตต่อเวลา
\(\frac{dY}{dt}\)
ต้นทุนชายขอบ (Marginal Cost: MC)

ต้นทุนรวมของการผลิตสินค้าเป็นฟังก์ชัน \[TC(Q) = 5Q^2 + 10Q + 100\]
จงหาต้นทุนชายขอบเมื่อผลิต 10 หน่วย

แนวทาง:
\[ MC(Q) = \frac{dTC}{dQ} = 10Q + 10 \Rightarrow MC(10) = 110 \] การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน TQ
Q <- symbol("Q")
TC <- 5*Q^2+10*Q+100
TC

\[5 Q^{2} + 10 Q + 100\]

# หาอนุพันธ์ของ TC(Q)
dTC <- der(TC,Q)
dTC

\[10 Q + 10\]

# คำนวณ TQ'(10)
subs(dTC, Q, 10)

\[110\]

รายรับชายขอบ (Marginal Revenue: MR)

รายรับรวมจากการขายสินค้าเป็น \[TR(Q) = 50Q - 0.5Q^2\]
จงหารายรับชายขอบเมื่อขาย 20 หน่วย

แนวทาง:
\[ MR(Q) = \frac{dTR}{dQ} = 50 - Q \Rightarrow MR(20) = 30 \]

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน TR
Q <- symbol("Q")
TR <- 50*Q -Q^2/2
TR

\[- \frac{Q^{2}}{2} + 50 Q\]

# หาอนุพันธ์ของ TR(Q)
dTR <- der(TR,Q)
dTR

\[50 - Q\]

# คำนวณ TR'(20)
subs(dTR, Q, 20)

\[30\]

อรรถประโยชน์ชายขอบ (Marginal Utility)

ผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ \[U(x, y) = x^{0.5}y^{0.5}\]
จงหาอรรถประโยชน์ชายขอบของสินค้า \(x\) เมื่อบริโภค \(x = 4\), \(y = 9\)

แนวทาง:
\[ MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{2}x^{-0.5}y^{0.5} \Rightarrow MU_x(4,9) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{4} \]

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน U(x,y)
x <- symbol("x")
y <- symbol("y")
U <- sqrt(x)*sqrt(y)
U

\[\sqrt{x} \sqrt{y}\]

# หาอนุพันธ์ของ Ux
Ux <- der(U,x)
Ux

\[\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\]

# คำนวณ Ux(4,9)
subs(Ux, list(x = 4, y = 9))

\[\frac{3}{4}\]

ผลผลิตชายขอบ (Marginal Product)

ฟังก์ชันการผลิต: \[Q = 2L^{0.6}K^{0.4}\]
กำหนด \(L = 25\), \(K = 16\) จงหา \(MP_L\)

แนวทาง:
\[ MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 1.2 \cdot L^{-0.4}K^{0.4} \Rightarrow MP_L = 1.2 \cdot 25^{-0.4} \cdot 16^{0.4} \approx 1.0038 \]

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Q(L,K)
L <- symbol("L")
K <- symbol("K")
Q <- 2*L^0.6*K^0.4
Q

\[2 K^{0.4} L^{0.6}\]

# หาอนุพันธ์ของ MP_L
MP_L <- der(Q,L)
MP_L

\[\frac{1.2 K^{0.4}}{L^{0.4}}\]

# คำนวณ MP_L(25, 26)
subs(MP_L, list(L = 25, K = 16))

\[1.00381397048762\]

การเพิ่ม-ลดฟังก์ชัน (Optimization)

กำไรของบริษัทเป็น \[\Pi(Q) = 120Q - 4Q^2 - 100\]
จงหาผลผลิตที่ทำให้กำไรสูงสุด

แนวทาง:
\[ \Pi'(Q) = 120 - 8Q \Rightarrow 120 - 8Q = 0 \Rightarrow Q = 15 \]

ตรวจสอบ:
\[ \Pi''(Q) = -8 < 0 \]

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Pi(Q)
Q <- symbol("Q")
Pi <- 120*Q-4*Q^2-100
Pi

\[- 4 Q^{2} + 120 Q - 100\]

# หาอนุพันธ์ของ Pi(Q)
dPi <- der(Pi,Q)
dPi

\[120 - 8 Q\]

# หาจุดที่ Pi'(Q)=0
solve_sys(dPi,Q)
Q = 15

ทดสอบค่าเป็นค่าสูงสุดจริงหรือไม่ โดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

# หาอนุพันธ์อันสองของ Pi(Q)
ddPi <- der2(Pi, Q)
ddPi

\[-8\]

เนื่องจาก อนุพันธ์อันดับ 2 มีค่าเป็นลบทุกจุด ดังนั้่น จึงสรุปได้ว่า ที่ Q = 15 จะมีกำไรสูงสุดคือ

subs(Pi, Q, 15)

\[800\]

ความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคา (Price Elasticity of Demand)

ฟังก์ชันอุปสงค์ \[Q(P) = 100 - 2P\]
หาค่าความยืดหยุ่นที่ราคา \(P = 20\)

แนวทาง:
\[ E_p = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = (-2) \cdot \frac{20}{100 - 2(20)} = -2 \cdot \frac{20}{60} = -\dfrac{2}{3} \] การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Q(P)
P <- symbol("P")
Q <- 100 - 2*P
Q

\[100 - 2 P\]

# หาอนุพันธ์ของ Q(P)
dQ <- der(Q,P)
dQ

\[-2\]

# สร้างฟังก์ชัน Ep
Ep <- dQ*P/Q
Ep

\[- \frac{2 P}{100 - 2 P}\]

# หาค่า Ep(20)
subs(Ep, P, 20)

\[- \frac{2}{3}\]

อัตราการเติบโตทางเศรษฐกิจ (Growth Rate)

ผลผลิตตามเวลา: \[Y(t) = 100e^{0.05t}\]
จงหาอัตราการเติบโตของผลผลิตเมื่อ \(t = 10\)

แนวทาง:
\[ \frac{dY}{dt} = 100 \cdot 0.05 \cdot e^{0.05t} \Rightarrow \frac{dY}{dt}(10) = 5 \cdot e^{0.5} \approx 5 \cdot 1.6487 \approx 8.24 \]

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Y
t <- symbol("t")
Y <- 100*exp(0.05*t)
Y

\[100 e^{0.05 t}\]

# หาอนุพันธ์ของ Y
dY <- der(Y, t)
dY

\[5.0 e^{0.05 t}\]

# หาค่า Y'(10)
subs(dY, t, 10)

\[8.24360635350064\]

3.8 บบฝึกหัดประยุกต์อนุพันธ์ในเศรษฐศาสตร์

ให้ใช้ caracas ในการหาคำตอบ

  1. กำหนดฟังก์ชันต้นทุนรวมเป็น \(TC(Q) = 3Q^3 + 5Q^2 + 50\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุน (MC) เมื่อ \(Q = 2\)

  2. รายได้รวมของผู้ผลิตให้โดย \(TR(Q) = 120Q - 4Q^2\) จงหา MR ที่ระดับการผลิต \(Q = 10\)

  3. ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ \(U(x, y) = x^2 y^{0.5}\) จงหา Marginal Utility ของ \(x\) เมื่อ \(x = 4\), \(y = 16\)

  4. ฟังก์ชันผลผลิตคือ \(Q = 20L^{0.6}K^{0.4}\) จงหาอนุพันธ์ของผลผลิตตามแรงงาน \(L\)

  5. กำหนดฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย \(AC(Q) = Q + \frac{100}{Q}\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ AC เมื่อ \(Q = 10\)

  6. ให้ฟังก์ชันรายได้ \(R(P) = P(300 - 3P)\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของรายได้ตามราคา (dR/dP)

  7. ฟังก์ชันกำไรคือ \(\Pi(Q) = 100Q - 5Q^2 - 200\) จงหาจุดที่กำไรเพิ่มขึ้นช้าที่สุด (ค่าต่ำสุดของ d²π/dQ²)

  8. ผู้บริโภคมีฟังก์ชัน \(U(x, y) = \ln(x) + 2\ln(y)\) จงหาอนุพันธ์ของอรรถประโยชน์ตาม \(y\)

  9. ให้ฟังก์ชันต้นทุนรวม \(C(Q) = 10Q^2 + 100\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนเมื่อ \(Q = 5\)

  10. ฟังก์ชันผลผลิต \(Q = L^{1/2}K^{1/2}\) จงหา MP ของทุน \(K\) ที่ \(L = 25, K = 16\)

  11. หากต้นทุนเพิ่ม (MC) คืออนุพันธ์ของ \(TC = Q^2 + 5Q\) จงหาค่า MC ที่ \(Q = 6\)

  12. ให้ \(TR = 50Q - Q^3\) และ \(TC = 5Q^2 + 50\) จงหาค่า dπ/dQ ที่ \(Q = 4\)

  13. ฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย \(AC = \frac{TC}{Q}\) โดย \(TC = Q^2 + 20\) จงหา dAC/dQ เมื่อ \(Q = 2\)

  14. ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ \(U = x^{0.4}y^{0.6}\) จงหาอนุพันธ์ของ \(U\) ตาม \(x\)

  15. รายได้รวมคือ \(R(Q) = 200Q - 2Q^2\) จงหาค่า Q ที่ MR = 0

  16. ต้นทุนรวมคือ \(C(Q) = 4Q^3 - 20Q^2 + 60Q\) จงหา MC และวิเคราะห์ว่าจุดใด MC ต่ำสุด

  17. ฟังก์ชันผลผลิต \(Q(L) = 5L - 0.1L^2\) จงหา MP ที่ \(L = 10\)

  18. ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ \(U(x, y) = x^2 + y^2\) จงหาเส้นชั้นอรรถประโยชน์ (indifference slope) ที่ \(x = 3, y = 4\)

  19. ถ้ารายได้เฉลี่ยคือ \(AR = \frac{TR}{Q}\), โดย \(TR = 80Q - Q^2\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ AR ที่ \(Q = 10\)

  20. ฟังก์ชันต้นทุนรวม \(TC = 100 + 20Q + 0.5Q^2\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ MC เมื่อ Q เพิ่มขึ้น 1 หน่วย