8 ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับนักเศรษฐศาสตร์

Modified

6 พฤษภาคม 2568

คำแนะนำ

ในบทนี้เป็นการศึกษาระบบสมการเชิงอนุพันธ์ จะเป็นการคำนวณเชิงตัวเลข และการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ผู้อ่านจะศึกษาทำความเข้าใจ การสร้างฟังก์ชันด้วยอาร์ก่อน ก็จะศึกษาบทนี้ได้โดยง่าย

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ( System of Differential Equations ) คือชุดของสมการอย่างน้อยสองสมการที่เกี่ยวข้องกับ ตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว และ อนุพันธ์ ของตัวแปรเหล่านั้นตามตัวแปรเวลา (หรืออีกตัวแปรหนึ่ง)

8.1 นิยาม

ความหมายเชิงคณิตศาสตร์:

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์แบบทั่วไปในตัวแปร \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) เขียนได้ว่า: \[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) \] โดยที่:

\(\mathbf{x}(t) = [x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)]^\top\) คือเวกเตอร์ของตัวแปร
\(\mathbf{f}\) คือฟังก์ชันเวกเตอร์ ที่ให้อนุพันธ์ของตัวแปรแต่ละตัว
\(t\) คือตัวแปรเวลา (หรือตัวแปรอิสระอื่น)

ตัวอย่างที่ 1 ระบบ 2 สมการเชิงเส้น \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x + 4y \\ \frac{dy}{dt} = -2x + y \end{cases} \] เป็นระบบ ODE 2 ตัวแปร ซึ่งสามารถเขียนในรูปเมตริกซ์ได้ว่า: \[\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

ตัวอย่างที่ 2 แบบจำลองเศรษฐศาสตร์ (Price Expectation Model) \[ \begin{cases} \frac{dp}{dt} = \lambda (p^e - p) \\ \frac{dp^e}{dt} = \gamma (p - p^e) \end{cases} \] เป็นระบบ 2 สมการไม่เชิงเส้น สมมุติว่า \(p\) และ \(p^e\) เปลี่ยนแปลงตามกันในเวลา \(t\)

8.1.1 จุดดุลยภาพ (Equilibrium Point)

คือจุด \(\mathbf{x}^*\) ที่ทำให้ \[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = 0 \] หรือ \(\mathbf{f}(\mathbf{x}^*, t) = 0\) เป็นค่าที่ตัวแปรหยุดเปลี่ยนแปลง (นิ่ง)

8.1.2 ประเภทของระบบ ODE:

ประเภท	ตัวอย่าง	คำอธิบาย
เชิงเส้น (Linear)	\(\frac{dx}{dt} = Ax\)	คำตอบวิเคราะห์ได้ด้วยเมตริกซ์
ไม่เชิงเส้น (Nonlinear)	\(\frac{dx}{dt} = x(1 - x)\)	วิเคราะห์ด้วย phase diagram, linearization
ระบบอิสระ (Autonomous)	\(\frac{dx}{dt} = f(x)\)	ไม่ขึ้นกับ \(t\)
ไม่อิสระ (Non-autonomous)	\(\frac{dx}{dt} = f(x, t)\)	มี \(t\) โดยตรงในสมการ

นักเศรษฐศาสตร์ ไม่จำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งระบบเสมอไป เพราะเป้าหมายคือเข้าใจพฤติกรรมระยะยาวและโครงสร้างของแบบจำลอง มากกว่าการหาค่าตัวเลขแบบแม่นยำตลอดเวลา

เหตุผลหลัก: ทำไมจึง “ไม่นิยม” แก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (ODE) ทั้งหมด

เหตุผล	คำอธิบาย
1. แก้ยากหรือไม่มีคำตอบเชิงปิด (closed-form)	ระบบ ODE จำนวนมาก โดยเฉพาะแบบไม่เชิงเส้น (nonlinear) ไม่สามารถแก้ด้วยมือได้ หรือคำตอบอยู่ในรูปเชิงอนุพันธ์/อินทิเกรตซ้อนหลายชั้น
2. สนใจพฤติกรรมระยะยาว (long-run behavior)	เศรษฐศาสตร์ส่วนใหญ่เน้นผลลัพธ์ในระยะยาว เช่น เสถียรภาพ, จุดดุลยภาพ (steady state), หรือแนวโน้ม \(\rightarrow\) การหาค่า \(x^*\) ที่ทำให้ \(\frac{dx}{dt} = 0\) เพียงพอ
3. การวิเคราะห์เชิงคุณภาพ (qualitative analysis) เพียงพอ	นักเศรษฐศาสตร์สนใจว่า ระบบจะมุ่งไปทางไหน (converge / diverge), มีดุลยภาพหรือไม่, เสถียรหรือไม่ มากกว่าจะสนใจ trajectory แบบเจาะจงทุกจุดเวลา
4. แบบจำลองเป็นเชิงอุปมา (stylized model)	แบบจำลองเศรษฐศาสตร์มักตั้งขึ้นเพื่อเข้าใจแนวโน้ม มากกว่าจะใช้ทำนายเฉพาะเจาะจง เช่น Solow, IS-LM, Ramsey
5. จุดดุลยภาพให้ข้อมูลเพียงพอสำหรับนโยบาย	เช่น ทราบว่าอัตราภาษีหรืออัตราการออมจะส่งผลต่อ \(k^\), \(y^\) อย่างไร ก็พอแล้วสำหรับกำหนดนโยบายเศรษฐกิจ

นักเศรษฐศาสตร์มักใช้:

Phase diagram \(\rightarrow\) ดูทิศทางการเคลื่อนไหวของระบบ
Stability analysis \(\rightarrow\) วิเคราะห์ว่า equilibrium point เสถียรหรือไม่
Comparative statics \(\rightarrow\) ศึกษาผลของพารามิเตอร์ต่อจุดดุลยภาพ โดยไม่ต้องรู้ trajectory เต็ม

8.1.3 การวิเคราะห์ Phase diagram ด้วยอาร์โดยใช้ชุดคำสั่ง phaseR

แพ็กเกจ phaseR ใน R ถูกออกแบบมาเพื่อ วิเคราะห์พฤติกรรมเชิงพลวัตของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) โดยเฉพาะระบบแบบ 2 ตัวแปร (2D autonomous ODE systems) ซึ่งเหมาะมากกับการวาด phase portrait, direction field, และ trajectory plot

ระบบสมการเชิงอนุพนธ์ที่ phaseR ไม่รองรับโดยตรง

ประเภท	เหตุผล
ODE มากกว่า 2 ตัวแปร	แสดงผลใน phase space ไม่ได้
Non-autonomous system (ขึ้นกับ \(t\) โดยตรง)	ต้องแปลงก่อนให้เป็น autonomous
PDE (สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย)	ไม่รองรับ
DDE (สมการดีเลย์)	ไม่รองรับ

การวิเคราะห์ Phase diagram (หรือ Phase Portrait) ใน R นิยมใช้เพื่อแสดง เส้นวิถี (trajectories) ของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สองตัวแปร \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = f(x, y) \\ \frac{dy}{dt} = g(x, y) \end{cases} \]

ขั้นตอนการติดตั้ง (ทำครั้งเดียว)

# ติดตั้งแพ็กเกจ (ถ้ายังไม่มี)
install.packages("phaseR")

เรียกใช้งาน

library(phaseR)

การสร้างฟังก์ชันของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ สำหรับชุดคำสั่ง phaseR ขอยกตัวอย่างสมการอนุพันธ์ในคู่มือแนะนำการใช้งาน phaseR

ตัวอย่างสมการอนุพันธ์ หนึ่งตัวแปร \[ \frac{d y}{d t}=y(1-y)(2-y), \]

derivative0 <- function (t, y, parameters){
    list(y * (1 - y) * (2 - y))
}

ตัวอย่างระบบสมการ

ตัวอย่างที่ 1

\[ \frac{d x}{d t}=3 y, \quad \frac{d y}{d t}=2 x, \]

สามารถสร้างสมการด้วยเพื่อนำไปใช้กับ PhaseR

derivative1 <- function(t, y, parameters) {
  x  <- y[1]
  y  <- y[2]
  dy <- c(3*y, 2*x)
  list(dy)
}

ตัวอย่างที่ 2

\[ \frac{d x}{d t}=\alpha y, \quad \frac{d y}{d t}=\beta x, \] \(\alpha\) และ \(\beta\) เป็นค่าพารามิเตอร์

สามารถสร้างสมการด้วยเพื่อนำไปใช้กับ PhaseR

derivative2 <- function(t, y, parameters) {
  alpha <- parameters[1]
  beta  <- parameters[2]
  x     <- y[1]
  y     <- y[2]
  dy    <- c(alpha*y, beta*x)
  list(dy)
}

ตัวอย่างที่ 3

\[ \frac{d y}{d t}=a(b-3-y)^2, \]

สามารถสร้างสมการด้วยเพื่อนำไปใช้กับ PhaseR

derivative3 <- function(t, y, parameters) {
  a  <- parameters[1]
  b  <- parameters[2]
  dy <- a*(b - 3 - y)^2
  list(dy)
}

จากตัวอย่างทั้ง 3 สามารถสรุปได้เป็น

derivative <- function(t, y, parameters) {
  # Enter derivative computation here
  list(dy)
}

จากระบบสมการเชิงอนุพันธ์หนึ่งตัวแปร สามารถวิเคราะห์ phase diagram ได้ดังนี้

# 1. สร้าง flow field (เวกเตอร์ทิศทาง)
flowField  <- flowField(derivative0,
                        xlim   = c(0, 4),
                        ylim   = c(-1, 3),
                        system = "one.dim",
                        add    = FALSE)
# วาดกริด
grid()
# 2. สร้าง nullclines (เส้นที่อนุพันธ์ = 0)
nullclines <- nullclines(derivative0,
                         xlim   = c(0, 4),
                         ylim   = c(-1, 3),
                         system = "one.dim")
# 3. สร้างเส้นวิถี (trajectories) จากจุดเริ่มต้น y0
trajectory <- trajectory(derivative0,
                         y0     = c(-0.5, 0.5, 1.5, 2.5),
                         tlim   = c(0, 4),
                         system = "one.dim")

องค์ประกอบแต่ละอย่างใน Phase Diagram หมายถึงอะไร?

flowField(...) \(\rightarrow\) เวกเตอร์ทิศทาง (Vector Field)
- เป็นลูกศรเล็ก ๆ แสดงทิศทางและความเร็วที่จุดต่าง ๆ บนระนาบ (x, y)
- แต่ละลูกศรแทนว่า ณ จุดนั้น ระบบจะ “ไหล” หรือ “เคลื่อนไป” ทางไหน
- บอกพฤติกรรมเฉพาะจุด เช่น หมุน, วิ่งเข้า, วิ่งออก ฯลฯ
nullclines(...) \(\rightarrow\) เส้นศูนย์อนุพันธ์
- เส้นที่ \(\frac{dx}{dt} = 0\) และ \(\frac{dy}{dt} = 0\)
- จุดที่ nullclines ทั้งสองเส้นตัดกัน คือ จุดดุลยภาพ (equilibrium point) ของระบบ
- ช่วยให้เข้าใจจุดสมดุล และแบ่งระนาบเป็นพื้นที่ที่ทิศทางของระบบต่างกัน
trajectory(...) \(\rightarrow\) เส้นวิถีของระบบ (Solution Trajectories)
- จำลองเส้นทางของระบบเมื่อเริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นที่กำหนดใน y0
- แต่ละแถวของ y0 เป็นจุดเริ่มต้น เช่น (2, 2), (-3, 0), (0, 2), (0, -3)
- เส้นจะไหลไปตาม flow field \(\rightarrow\) ชี้ให้เห็นว่าในระยะยาวระบบจะไปที่ใด เช่น:
  - วิ่งเข้าหาจุดดุลยภาพ (Stable Node)
  - หมุนรอบจุด (Center / Spiral)
  - หนีห่างออกไป (Unstable)

การตีความ Phase Diagram (ในทางคณิตศาสตร์/เศรษฐศาสตร์):

องค์ประกอบ	สิ่งที่ช่วยวิเคราะห์
Flow field	พฤติกรรมเฉพาะจุดของระบบ
Nullclines	ตำแหน่งจุดดุลยภาพ และการแบ่งโซนพฤติกรรม
Trajectories	การเปลี่ยนแปลงของระบบเมื่อเริ่มจากจุดต่าง ๆ

ใน phaseR แต่ละฟังก์ชัน เช่น flowField(), nullclines(), และ trajectory() มีอาร์กิวเมนต์ที่ใช้ควบคุมลักษณะการวาดแผนภาพเฟส (phase diagram)

xlim และ ylim

ใช้กำหนด ช่วงของแกน x และ y สำหรับกราฟ

ตัวอย่าง:

xlim = c(-5, 5)  # แกน x จะเริ่มที่ -5 ถึง 5
ylim = c(-5, 5)  # แกน y จะเริ่มที่ -5 ถึง 5

system

ระบุประเภทของระบบสมการอนุพันธ์ที่ใช้
สำหรับระบบ 2 ตัวแปร ใช้ "two.dim"

ตัวอย่าง:

system = "two.dim"

หากเป็นระบบ 1 มิติใช้ "one.dim"
หากเป็นระบบ 2 มิติใช้ "two.dim"

y0

ใช้ใน trajectory() เท่านั้น
เป็น จุดเริ่มต้น (initial values) ที่จะใช้ในการวาดเส้นทาง (trajectory) ของระบบ

ตัวอย่าง:

y0 = matrix(c(1, 0, -1, 0, 2, 2), ncol = 2, byrow = TRUE)

แปลว่าเราจะเริ่ม trajectory ที่: (1, 0) (-1, 0) (2, 2)

หมายเหตุ ถ้าเป็นระบบสมการตัวแปรเดียว ให้กำหนดเป็นเวคเตอร์

tlim

ใช้ใน trajectory() เช่นกัน
ระบุช่วงเวลาที่จะวาด trajectory เช่น tlim = c(0, 5) แปลว่าให้วาด trajectory จากเวลา 0 ถึง 5

สรุปตารางargument หน้าที่:

Argument	ใช้ใน	ความหมาย
`xlim`	ทุกฟังก์ชัน	กำหนดช่วงค่าแกน x
`ylim`	ทุกฟังก์ชัน	กำหนดช่วงค่าแกน y
`system`	ทุกฟังก์ชัน	ระบุว่าระบบเป็นกี่มิติ
`y0`	`trajectory()`	จุดเริ่มต้นของ trajectory
`tlim`	`trajectory()`	ช่วงเวลาที่จะวาด trajectory

สามารถใช้ argument อื่นจากฟังก์ชัน plot ในอาร์ได้ เช่น

col เลือกสีที่ต้องการ
lty เลือกลักษณะเส้นที่ต้่องการ เช่น เส้นป่ะ เส้นจุด เป็นต้น
lwd ขนาดของเส้น
xlab, ylab ตั้งชื่อแกน x และ y
main ตั้งชื่อกราฟ

8.2 ตัวอย่างสมการและระบบสมการเชิงอนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์:

8.2.1 Price Adjustment Model (Adaptive Expectations)

8.3 แบบจำลองคือ

\[ \begin{cases} \frac{dp}{dt} = \lambda(p^e - p) \\ \frac{dp^e}{dt} = \gamma(p - p^e) \end{cases} \]

วิธีทำ ใช้ caracas หาจุดดุลยภาพ

library(caracas)
# กำหนดตัวแปร
lambda <- symbol("lambda_")
gamma <- symbol("gamma")
pe <-symbol("p_e")
p <- symbol("p")
# นิยามฟังก์ชัน
dP <- cbind(lambda*(pe-p),gamma*(p-pe))
# หาค่า  p, pe
sol <- solve_sys(dP, list(p,pe))
sol[[1]]$p

\[p_{e}\]

จุดสมดุล: \(p = p^e\)
ถ้า \(\lambda, \gamma > 0\): ระบบจะเข้าสู่เสถียรภาพ (stable node)
เส้น trajectory จะวิ่งเข้าแนวเส้น \(p = p^e\) จากทุกจุดรอบนอก

สร้างฟังก์ชันของระบบสมการเชิงอนุพันธ์นี้ด้วย phaseR

library(phaseR)
deriv <- function(t, y, parameter){
  lambda <- parameter[1]
  gamma  <- parameter[2]
      p  <- y[1]
      pe <- y[2]
      dy <- c(lambda*(pe-p), gamma*(p-pe))
  list(dy)
    }

สมมุติให้ \(\lambda =2\) และ \(\gamma=1\)

# วาด vector field
flowField  <- flowField(deriv,
                        xlim   = c(-5, 5),
                        ylim   = c(-5, 5),
                        parameters = c(2,1),
                        system = "two.dim",
                        add    = FALSE)
# วาดกริด
grid()
#เพิ่ม วาดเส้นจุดที่ dy/dt =0
nullclines <- nullclines(deriv,
                         xlim   = c(-5, 5),
                         ylim   = c(-5, 5),
                         parameters = c(2,1),
                         col = c("red", "blue"),
                         system = "two.dim")
#เพิ่ม วาด trajectory ตามจุด y0 ที่กำหนด
y0  <- matrix(c(1, 0, -1, 0, 2, 2, -2,
                2, 3, -3, -3, -4), ncol = 2, byrow = TRUE)
trajectory <- trajectory(deriv,
                         y0     = y0,
                         tlim   = c(0, 5),
                         parameters = c(2,1),
                         system = "two.dim")

8.3.1 Solow Growth Equation (Capital Accumulation)

แบบจำลองคือ

\[ \frac{dk}{dt} = s k^\alpha - \delta k \]

วิธีทำ สามารถสมการหาจุดดุลยภาพ ที่ \(\dfrac{dk}{dt}=0\) ดังนั้น สามารถใช้ caracas ในการจุดดุลยภาพได้ดังนี้

library(caracas)
#สร้างตัวแปร
s <- symbol("s", "positive" = TRUE)
alpha <- symbol("alpha", "positive" = TRUE)
delta <- symbol("delta", "positive" = TRUE)
k <- symbol("k")
#สร้างฟังก์ชัน
solow <- s*k^alpha - delta*k 
# หาค่า k ที่ทำให้ solow = 0
sol <- solve_sys(solow,k)
sol[[1]]$k

\[\left(\frac{\delta}{s}\right)^{\frac{1}{\alpha - 1}}\]

แทนค่า \(s=1\) \(\alpha=0.5\) และ \(\delta=0.1\)

(0.1/1)^(1/(.5 - 1))

[1] 100

สร้างฟังก์ชันเพื่อวิเคราะห์ด้วย phaseR

library(phaseR)
solow <- function(t, y, parameter){
      s <- parameter[1]
  alpha <- parameter[2]
  delta <- parameter[3]
      k <- y
     dy <- s*k^alpha - delta*k
     list(dy) 
     }

เหตุผลที่ต้องการจุดดุลภาพ ก็เพื่อให้พิจาณาช่วงของ \(k\) ให้ครอบคลุมจุดดุลยภาพนั้นเอง วิเคราะห์ phase diagram

# กำหนด
xlim <- c(0,100)
ylim <- c(0.001,150)
para <- c(s = 1, alpha = 0.5, delta = 0.1)
tlim <- xlim
# วาด vector field
flowField  <- flowField(solow,
                        xlim   = xlim,
                        ylim   = ylim,
                        parameters = para,
                        system = "one.dim",
                        ylab = "k(t)",
                        add    = FALSE)
# วาดกริด
grid()
#เพิ่ม วาดเส้นจุดที่ dy/dt =0
nullclines <- nullclines(solow,
                         xlim   = xlim,
                         ylim   = ylim,
                         parameters = para,
                         col = "red",
                         system = "one.dim")
#เพิ่ม วาด trajectory ตามจุด y0 ที่กำหนด
y0  <- c(10,50, 90, 120, 150)
trajectory <- trajectory(solow,
                         y0     = y0,
                         tlim   = tlim,
                         col = "blue",
                         parameters = para,
                         system = "one.dim")

8.3.2 IS–LM Dynamic Model

แบบจำลอง

เป็นการอธิบายความสัมพันธ์เชิงเวลา (Time Dynamics) ระหว่างรายได้ \(Y\) และอัตราดอกเบี้ย \(r\) ผ่าน IS และ LM โดยใช้พฤติกรรมการปรับตัวของตลาด:

\[ \begin{cases} \frac{dY}{dt} = \alpha \cdot (I(r) - S(Y)) \\ \frac{dr}{dt} = \beta \cdot (L(Y, r) - M) \end{cases} \]

ตัวอย่างแบบง่ายสมมุติให้:

\(I(r) = I_0 - b \cdot r\): การลงทุนลดลงตาม r
\(S(Y) = s \cdot Y\): การออมเพิ่มตาม Y
\(L(Y, r) = k \cdot Y - h \cdot r\): อุปสงค์เงิน
\(M\): ปริมาณเงินคงที่

ระบบสมการแบบระบุพารามิเตอร์ \[ \begin{cases} \frac{dY}{dt} = \alpha [(I_0 - b \cdot r) - s \cdot Y] \\ \frac{dr}{dt} = \beta [k \cdot Y - h \cdot r - M] \end{cases} \]

วิธีทำ สามารถจุดดุลภาพด้วย caracas

library(caracas)
# สร้างตัวแปร
alpha <- symbol("alpha", "positive" = TRUE)
beta <- symbol("beta", "positive" = TRUE)
#เปลี่ยน I0 เป็น ๋๋J0
J0<- symbol("J0", "positive" = TRUE) 
b <- symbol("b", "positive" = TRUE)
r <- symbol("r", "positive" = TRUE)
s <- symbol("s", "positive" = TRUE)
h <- symbol("h", "positive" = TRUE)
k <- symbol("k", "positive" = TRUE)
Y <- symbol("Y")
M <- symbol("M")
# สร้างระบบสมการ
dy <- cbind(alpha*(J0-b*r)-s*Y, beta*(k*Y -h*r -M))
dy

\[\left[\begin{matrix}- Y s + \alpha \left(J_{0} - b r\right) & \beta \left(- M + Y k - h r\right)\end{matrix}\right]\]

แก้สมการด้วยคำสั่ง solve_sys()

sol <- solve_sys(dy, list(Y,r))

ที่จุดดุลภาพ \((Y^*,r^*)\) \(Y^*\) มีค่าเท่ากับ

sol[[1]]$Y

\[\frac{J_{0} \alpha h + M \alpha b}{\alpha b k + h s}\]

และ \(r^*\) มีค่าเท่ากับ

sol[[1]]$r

\[\frac{J_{0} \alpha k - M s}{\alpha b k + h s}\]

ถ้ากำหนดให้ \(\alpha = 1, J_0 = 50, b = 7, s = 0.3, \beta = 1, k = 0.5, h = 3, M = 100\) จะได้ Y เท่ากับ

subs(sol[[1]]$Y,list(alpha = 1, J0 = 50, b = 7, s = 0.3, beta = 1, k = 0.5, h = 3, M = 100))

\[193.181818181818\]

และ \(r\) เท่ากับ

subs(sol[[1]]$r,list(alpha = 1, J0 = 50, b = 7, s = 0.3, beta = 1, k = 0.5, h = 3, M = 100))

\[-1.13636363636364\]

สร้างฟังก์ชันเพื่อวิเคราะห์ด้วย phaseR

library(phaseR)
deri <- function(t, y, parameter){
alpha <- 1
I0    <- 50
b     <- 7
s     <- 0.3
beta  <- 1
k     <- 0.5
h     <- 3
M     <- 100
  Y <- y[1]
  r <- y[2]
     dy <- c(alpha*(I0-b*r) -s*Y ,beta*(k*Y - h*r -M))
     list(dy) 
     }

จาก \((Y^*,r^*) =(193.1818,-1.13636)\)

# กำหนด
xlim <- c(0,400)
ylim <- c(-50,50)

tlim <- xlim
# วาด vector field
flowField  <- flowField(deri,
                        xlim   = xlim,
                        ylim   = ylim,
                        parameters = NULL,
                        system = "two.dim",
                        xlab = "Y(t)",
                        ylab = "r(t)",
                        add    = FALSE)
# วาดกริด
grid()
#เพิ่ม วาดเส้นจุดที่ dy/dt =0
nullclines <- nullclines(deri,
                         xlim   = xlim,
                         ylim   = ylim,
                         parameters = NULL,
                         col = c("red","green"),
                         system = "two.dim",
                          )

#เพิ่ม วาด trajectory ตามจุด (x0,y0) ที่กำหนด
y0  <- matrix(c(10, -4, 5,20 , 150, 20, 250, 30, 350, 10, 300,-20), ncol = 2, byrow  = TRUE)
trajectory <- trajectory(deri,
                         y0     = y0,
                         tlim   = tlim,
                         col = "blue",
                         parameters = NULL,
                         system = "two.dim")

8.3.3 Goodwin Growth Cycle Model (โมเดลวัฏจักรเศรษฐกิจด้านแรงงานกับทุน)

แบบจำลอง

เป็นโมเดลทางเศรษฐศาสตร์แรงงานที่วิเคราะห์พลวัตของ ส่วนแบ่งค่าจ้างแรงงาน \(u\) และ การจ้างงาน \(v\) \[ \begin{cases} \frac{du}{dt} = u(\alpha - \beta v) \\ \frac{dv}{dt} = v(\gamma u - \delta) \end{cases} \] \[\left( \frac{\delta}{\gamma}, \frac{\alpha}{\beta} \right)\]

ความหมายของตัวแปร: แก - \(u\): ส่วนแบ่งแรงงาน (wage share)

\(v\): อัตราการจ้างงาน (employment rate)
\(\alpha, \beta, \gamma, \delta\): พารามิเตอร์เชิงเศรษฐศาสตร์ เช่น productivity growth, bargaining power

ลักษณะ: ระบบนี้สามารถแสดงวงจรวัฏจักร (limit cycle) คล้ายกับ Predator-Prey

วิธีทำ สามารถหาจุดดุลภาพด้วย caracas

library(caracas)
# สร้างตัวแปร
alpha <- symbol("alpha", "positive" = TRUE)
beta <- symbol("beta", "positive" = TRUE)
gamma <- symbol("gamma", "positive" = TRUE)
delta <- symbol("delta", "positive" = TRUE)
u <- symbol("u")
v <- symbol("v")
# สร้างระบบสมการ
dy <- cbind( u*(alpha-beta*v), v*(gamma*u-delta))
dy

\[\left[\begin{matrix}u \left(\alpha - \beta v\right) & v \left(- \delta + \gamma u\right)\end{matrix}\right]\]

แก้สมการด้วยคำสั่ง solve_sys()

sol <- solve_sys(dy, list(u,v))

ที่จุดดุลภาพ มี 2 จุดคือ \((u^*,v^*)\) \(u^*\) มีค่าเท่ากับ

sol[[1]]$u

\[0\]

และ \(r\) มีค่าเท่ากับ

sol[[1]]$v

\[0\]

นั่นคือ \((u^*,v^*)=(0,0)\)

และ

sol[[2]]$u

\[\frac{\delta}{\gamma}\]

และ \(r\) มีค่าเท่ากับ

sol[[2]]$v

\[\frac{\alpha}{\beta}\]

นั้นคือ \((u^*, v^*)=\left(\dfrac{\delta}{\gamma},\dfrac{\alpha}{\beta}\right)\)

สร้างฟังก์ชันเพื่อวิเคราะห์ด้วย phaseR

สมุมติให้ \(\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(1,0.1,0.075,1.5)\)

library(phaseR)
deri <- function(t, y, parameter){
alpha <- 1
beta  <- 0.1
gamma <- 0.075
delta <- 1.5
  u <- y[1]
  v <- y[2]
  du <- u*(alpha - beta*v)
  dv <- v*(gamma*u - delta)
  dy <- c(du,dv)
     list(dy) 
     }

จาก \((u^*,v^*) =(0, 0)\) และ (20, 10)

# กำหนด
xlim <- c(0,40)
ylim <- c(0,40)

tlim <- xlim
# วาด vector field
flowField  <- flowField(deri,
                        xlim   = xlim,
                        ylim   = ylim,
                        parameters = NULL,
                        system = "two.dim",
                        xlab = "u(t)",
                        ylab = "v(t)",
                        add    = FALSE)
# วาดกริด
grid()
#เพิ่ม วาดเส้นจุดที่ dy/dt =0
nullclines <- nullclines(deri,
                         xlim   = xlim,
                         ylim   = ylim,
                         parameters = NULL,
                         col = c("red","green"),
                         system = "two.dim",
                          )

#เพิ่ม วาด trajectory ตามจุด (x0,y0) ที่กำหนด
y0  <- matrix(c(30, 30, 25, -10 , 10, 10, 40,15), ncol = 2, byrow  = TRUE)
trajectory <- trajectory(deri,
                         y0     = y0,
                         tlim   = tlim,
                         col = "blue",
                         parameters = NULL,
                         system = "two.dim")

8.4 การวิเคราะห์จุดดุลยภาพสำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไป

การวิเคราะห์ ระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มี 3 ตัวแปรขึ้นไป (หรือ \(n\) ตัวแปร) การใช้ Jacobian matrix และการหาค่า eigenvalues ก็ยังคงเป็น วิธีมาตรฐานและดีที่สุดในเชิงคณิตศาสตร์ สำหรับการวิเคราะห์จุดดุลยภาพ โดยเฉพาะ:

ทำไม Jacobian ยังจำเป็นเมื่อมีมากกว่า 2 ตัวแปร?

ยังบอกเสถียรภาพได้
- Jacobian ยังเป็นเมทริกซ์ \(n \times n\) ที่ได้จากอนุพันธ์ของระบบ
- Eigenvalues ของเมทริกซ์นี้จะยังคงบอกถึงพฤติกรรมใกล้จุดสมดุลได้เหมือนเดิม:
- ส่วนจริงของ eigenvalue < 0 \(\rightarrow\) stable
- ส่วนจริง > 0 \(\rightarrow\) unstable
- ค่า pure imaginary \(\rightarrow\) อาจเกิด oscillation
ใช้วิเคราะห์ในเชิงเส้นใกล้สมดุล (linearization) ได้
- ใกล้จุดดุลยภาพ ระบบไม่เชิงเส้นสามารถประมาณได้ด้วยระบบเชิงเส้น โดยใช้ Taylor expansion ลำดับแรก — และ Jacobian คือ “linear part” นั้น
ไม่สามารถวิเคราะห์พฤติกรรมเชิงภาพได้โดยตรง
- สำหรับระบบ 2 ตัวแปร \(\rightarrow\) ใช้ phase portrait วาดได้ (จากหัวข้อที่ผ่านมา)
- สำหรับระบบ \(\geq\) 3 ตัวแปร \(\rightarrow\) ไม่สามารถวาด phase space ได้โดยง่าย
- การใช้ Jacobian + eigenvalue จึงเป็นทางเลือกเดียวที่แม่นยำและคำนวณได้จริง

ตัวอย่าง: ถ้ามี 3 สมการ

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = f(x, y, z) \\ \frac{dy}{dt} = g(x, y, z) \\ \frac{dz}{dt} = h(x, y, z) \end{cases} \]

วิธีทำ Jacobian คือเมทริกซ์ \(3 \times 3\): \[ J(x, y, z) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} & \frac{\partial g}{\partial z} \\ \frac{\partial h}{\partial x} & \frac{\partial h}{\partial y} & \frac{\partial h}{\partial z} \end{bmatrix} \]

แล้วแทนค่าจุดดุลยภาพ \((x^*, y^*, z^*)\) \(\rightarrow\) หา eigenvalues \(\rightarrow\) วิเคราะห์เสถียรภาพ

ตารางสรุป: ความสัมพันธ์ระหว่าง Eigenvalues กับลักษณะของจุดดุลยภาพ

ลักษณะของ Eigenvalues	สถานะของจุดดุลยภาพ	ความหมายทางพลวัต
ทุก \(\Re(\lambda_i) < 0\)	Stable node / focus / spiral	จุดดุลยภาพ เสถียร (asymptotically stable)
มีบาง \(\Re(\lambda_i) > 0\)	Unstable	ระบบหนีออกจากจุดนั้น
มี \(\Re(\lambda_i) > 0\) และ \(\Re(\lambda_j) < 0\)	Saddle point	เสถียรบางทิศทาง ไม่เสถียรบางทิศทาง
ทุก \(\Re(\lambda_i) = 0\) แต่ไม่เป็นศูนย์หลายลำดับ	Center / Neutrally stable	ระบบแกว่งวนรอบจุดนั้น (ต้องใช้วิธีอื่นช่วยวิเคราะห์ต่อ)
บาง \(\Re(\lambda_i) = 0\)	ไม่สามารถสรุปได้แน่ชัด	อาจต้องใช้ Lyapunov method หรือ nonlinear terms ตรวจสอบต่อ

8.5 ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไปในทางเศรษฐศาสตร์

8.5.1 แบบจำลอง IS–LM–PC (New Keynesian Model)

ใช้วิเคราะห์เศรษฐกิจระยะสั้น โดยพิจารณาการบริโภค (IS), การเงิน (LM), และเงินเฟ้อ (Phillips Curve)

แบบจำลอง

\[ \begin{cases} \frac{dY}{dt} = \alpha_1 (r - r^*) \quad &\text{(IS: รายได้ตอบสนองต่อนโยบายการเงิน)} \\ \frac{dr}{dt} = \alpha_2 (\pi - \pi^*) \quad &\text{(นโยบายการเงินตอบสนองต่อเงินเฟ้อ)} \\ \frac{d\pi}{dt} = \alpha_3 (Y - Y^*) \quad &\text{(PC: เงินเฟ้อตอบสนองต่อรายได้เกินดุล)} \end{cases} \]

\(Y\) = รายได้จริง
\(r\) = อัตราดอกเบี้ยนโยบาย
\(\pi\) = อัตราเงินเฟ้อ
\(\pi^*, r^*, Y^*\) = ค่าดุลยภาพ
\(\alpha_i\) = พารามิเตอร์ตอบสนอง

วิธีทำ การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วย caracas

ขั้นที่ 1 สร้างระบบสมการด้วย caracas

library(caracas)
# สร้างตัวแปร
alpha <- as_sym(paste0("alpha",1:3))
r_e <- symbol("r_e")
pi_e <- symbol("pi_e")
Y_e <-  symbol("Y_e")
Y  <- symbol("Y")
r <- symbol("r")
pi <- symbol("pi")
# สร้างสมการ
dY <- alpha[1]*(r-r_e)
dr <- alpha[2]*(pi-pi_e)
dpi<- alpha[3]*(Y-Y_e)
Deri <- cbind(dY,dr,dpi)
Deri

\[\left[\begin{matrix}\alpha_{1} \left(r - r_{e}\right) & \alpha_{2} \left(\pi - \pi_{e}\right) & \alpha_{3} \left(Y - Y_{e}\right)\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 2 หา Jacobain matrix ด้วยคำสั่ง jacobian() ใน caracas

Jaco <-jacobian(Deri, list(Y,r,pi))
Jaco

\[\left[\begin{matrix}0 & \alpha_{1} & 0\\0 & 0 & \alpha_{2}\\\alpha_{3} & 0 & 0\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 3 จุดดุลยภาพจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย solve_sys() ใน caracas

Sol <-solve_sys(Deri, list(Y,r, pi))

Sol[[1]]$Y

\[Y_{e}\]

Sol[[1]]$r

\[r_{e}\]

ขั้นที่ แทนค่าจุดดุลยภาพลงไปใน ่่Jacobian matrix ที่ได้ โดยใช้คำสั่ง eigenval() จาก caracas

Eigen <-eigenval(Jaco)

ค่า eigenvalue ตัวที่ 1 > 0

Eigen[[1]]$eigval

\[\sqrt[3]{\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}}\]

ค่า eigenvalue ตัวที่ 2 ค่าจริงติดลบ

Eigen[[2]]$eigval

\[- \frac{\sqrt[3]{\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}}}{2}\]

ค่า eigenvalue ตัวที่ 3 ค่าจริงติดลบ

Eigen[[3]]$eigval

\[- \frac{\sqrt[3]{\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}}}{2}\]

ดังนั้น ระบบนี้เป็น Saddle focus นั่นคือ ไม่เสถียร์

8.5.2 ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบจำลอง Goodwin

จำลองวงจรธุรกิจโดยอิงการจ้างงานและการเจรจาค่าจ้าง

แบบจำลอง

\[ \begin{cases} \frac{du}{dt} = u(\alpha - \beta v) \\ \frac{dv}{dt} = v(\gamma u - \delta) \\ \frac{dw}{dt} = w(\eta u - \theta) \end{cases} \]

ความหมายของตัวแปร:

สัญลักษณ์	ความหมายทางเศรษฐศาสตร์
\(u(t)\)	อัตราการจ้างงาน (employment rate) – สัดส่วนแรงงานที่มีงานทำ
\(v(t)\)	ส่วนแบ่งกำไรของทุน (profit share) – สัดส่วนของรายได้ที่ไปสู่ทุน
\(w(t)\)	ค่าจ้างแรงงานต่อหน่วยเวลา (real wage) หรือดัชนีค่าจ้างแรงงาน

ความหมายของพารามิเตอร์:

สัญลักษณ์	ความหมาย	ค่าคาดหวัง
\(\alpha\)	อัตราการเติบโตของการจ้างงานพื้นฐาน (เช่น เทคโนโลยีหรือผลผลิตแรงงาน)	บวก
\(\beta\)	ความไวของการจ้างงานต่อส่วนแบ่งกำไร (เมื่อ \(v\) เพิ่ม \(\rightarrow\) \(u\) ลด)	บวก
\(\gamma\)	ความไวของกำไรต่อการจ้างงาน (เมื่อ \(u\) เพิ่ม\(\rightarrow\) กำไรเพิ่ม)	บวก
\(\delta\)	อัตราการลดลงของส่วนแบ่งกำไร (เช่น จากค่าแรง, ภาษี ฯลฯ)	บวก
\(\eta\)	ความไวของค่าจ้างต่ออัตราการจ้างงาน (bargaining power ของแรงงาน)	บวก
\(\theta\)	อัตราการกัดกร่อนค่าจ้างจากปัจจัยภายนอก เช่น productivity หรือแรงถ่วงของตลาด	บวก

คำอธิบายเชิงพลวัต:

สมการที่ 1: จ้างงานเพิ่มขึ้นเมื่อกำไรไม่สูงเกินไป (\(v\) ต่ำ)
สมการที่ 2: ส่วนแบ่งกำไรเพิ่มขึ้นเมื่อมีการจ้างงานสูง (ผลิตภาพดี)
สมการที่ 3: ค่าจ้างแรงงานเพิ่มขึ้นตามอัตราการจ้างงาน — เพราะอำนาจต่อรองแรงงานแข็งแรง

ระบบนี้สร้าง วงจรเศรษฐกิจ ที่มีลักษณะเป็น วงรอบ (limit cycle) ได้ในบางช่วง เช่น ค่าจ้างสูง \(\rightarrow\) กำไรลด \(\rightarrow\) การจ้างงานลด \(\rightarrow\) ค่าจ้างถูกกด \(\rightarrow\) กำไรเพิ่ม \(\rightarrow\) กลับมาใหม่

วิธีทำ การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วย caracas

ขั้นที่ 1 สร้างระบบสมการด้วย caracas

library(caracas)
# สร้างตัวแปร
alpha <- symbol("alpha", "positive" = TRUE)
beta <- symbol("beta", "positive" = TRUE)
gamma <- symbol("gamma", "positive" = TRUE)
delta <- symbol("delta", "positive" = TRUE)
eta <- symbol("eta", "positive" = TRUE)
theta <- symbol("theta", "positive" = TRUE)
u  <- symbol("u")
v <- symbol("v")
w <- symbol("w")
# สร้างสมการ
du <- u*(alpha-beta*v)
dv <- v*(gamma*u-delta)
dw <- w*(eta*u-theta)
Deri <- cbind(du, dv, dw)
Deri

\[\left[\begin{matrix}u \left(\alpha - \beta v\right) & v \left(- \delta + \gamma u\right) & w \left(\eta u - \theta\right)\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 2 หา Jacobain matrix ด้วยคำสั่ง jacobian() ใน caracas

Jaco <-jacobian(Deri, list(u,v,w))
Jaco

\[\left[\begin{matrix}\alpha - \beta v & - \beta u & 0\\\gamma v & - \delta + \gamma u & 0\\\eta w & 0 & \eta u - \theta\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 3 จุดดุลยภาพจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย solve_sys() ใน caracas

Sol <-solve_sys(Deri, list(u,v,w))

ระบบนี้ มีจุดดุลภาพ 2 จุดคือ \((u,v,w)=(0,0,0)\) และ \((\dfrac{\delta}{\gamma},\dfrac{\alpha}{\beta},0)\)

Sol[[1]]$u

\[0\]

Sol[[1]]$v

\[0\]

Sol[[1]]$w

\[0\]

Sol[[2]]$u

\[\frac{\delta}{\gamma}\]

Sol[[2]]$v

\[\frac{\alpha}{\beta}\]

Sol[[2]]$w

\[0\]

ขั้นที่ แทนค่าจุดดุลยภาพลงไปใน ่่Jacobian matrix ที่ได้ โดยใช้คำสั่ง
subs() และ eigenval() จาก caracas

Jaco1 <- subs(Jaco, list(u=0,v=0,w=0))
Eigen <-eigenval(Jaco1)

ค่า eigenvalue ตัวที่ 1 > 0

Eigen[[1]]$eigval

\[\alpha\]

ค่า eigenvalue ตัวที่ 2 ค่าจริงติดลบ

Eigen[[2]]$eigval

\[- \delta\]

ค่า eigenvalue ตัวที่ 3 ค่าจริงติดลบ

Eigen[[3]]$eigval

\[- \theta\]

ดังนั้น ระบบนี้เป็น Saddle focus ที่จุดดุลยภาพนี้

พิจารณาจุดดุลยภาพที่ 2

Jaco1 <- subs(Jaco, list(u= Sol[[2]]$u , v=Sol[[2]]$v , w=0))
Eigen <-eigenval(Jaco1)

ค่า eigenvalue ตัวที่ 1 ค่าจริงเท่ากับ 0

Eigen[[1]]$eigval

\[- \sqrt{- \alpha \delta}\]

ค่า eigenvalue ตัวที่ 2 ค่าจริง้ท่ากับ 0

Eigen[[2]]$eigval

\[\sqrt{- \alpha \delta}\]

ค่า eigenvalue ตัวที่ 3

Eigen[[3]]$eigval

\[\frac{\delta \eta - \gamma \theta}{\gamma}\]

จะน้อยกว่า 0 ถ้า \(\delta\eta <\gamma\theta\)

จะเท่ากับ 0 ถ้า \(\delta\eta= \gamma\theta\)

จะมากกว่า 0 ถ้า \(\delta\eta>\gamma\theta\)

8.5.3 แบบจำลองสามกลุ่มเศรษฐกิจ (3-sector Growth Model)

เช่น เศรษฐกิจที่ประกอบด้วย ภาคเกษตร (\(A\)), อุตสาหกรรม (\(I\)), และบริการ (\(S\))

แบบจำลอง 3-Sector Growth Model

\[ \begin{cases} \frac{dA}{dt} = A\cdot(f_A - \lambda_{AI} I - \lambda_{AS} S) \\ \frac{dI}{dt} = I\cdot(f_I - \lambda_{IA} A - \lambda_{IS} S) \\ \frac{dS}{dt} = S\cdot(f_S - \lambda_{SA} A - \lambda_{SI} I) \end{cases} \]

ความหมายของตัวแปร

ตัวแปร	ความหมายทางเศรษฐศาสตร์
\(A(t)\)	ขนาดของภาคเกษตรกรรม (Agricultural sector) ณ เวลา \(t\)
\(I(t)\)	ขนาดของภาคอุตสาหกรรม (Industrial sector)
\(S(t)\)	ขนาดของภาคบริการ (Service sector)

ขนาดอาจวัดได้ด้วย GDP ส่วนย่อย, การจ้างงาน, หรือผลผลิตภาคเศรษฐกิจนั้น ๆ

ความหมายของพารามิเตอร์

พารามิเตอร์	ความหมาย	ค่าคาดหวัง
\(f_A\)	อัตราการเติบโตพื้นฐานของภาคเกษตร (endogenous growth rate)	บวก (หรือลดลงหากอิงโครงสร้างเก่า)
\(f_I\)	อัตราการเติบโตพื้นฐานของภาคอุตสาหกรรม	บวก (มักสูงในประเทศกำลังพัฒนา)
\(f_S\)	อัตราการเติบโตพื้นฐานของภาคบริการ	บวก (เพิ่มตามพัฒนาการเศรษฐกิจ)

\(\lambda_{ij}\)	ความหมาย	ตีความทางเศรษฐศาสตร์
\(\lambda_{AI}\)	ผลกระทบเชิงลบจากภาคอุตสาหกรรมต่อภาคเกษตร	การย้ายทรัพยากรจากเกษตรไปอุตฯ
\(\lambda_{AS}\)	ผลกระทบจากภาคบริการต่อภาคเกษตร	เช่น การเปลี่ยนแรงงานไปสู่บริการ
\(\lambda_{IA}\)	ผลกระทบจากเกษตรต่ออุตสาหกรรม	การแข่งขันด้านแรงงาน หรือ supply ของ input
\(\lambda_{IS}\)	ผลกระทบจากบริการต่ออุตสาหกรรม	ดึงแรงงาน skilled ไปจากอุตสาหกรรม
\(\lambda_{SA}\)	ผลกระทบจากเกษตรต่อบริการ	เช่น การใช้ที่ดินหรือแรงงานท้องถิ่น
\(\lambda_{SI}\)	ผลกระทบจากอุตสาหกรรมต่อบริการ	อาจเป็นบวกหากเกิดการเชื่อมโยงอุตฯ–บริการ

โดยทั่วไป \(\lambda_{ij} > 0\) แสดงถึง “การแย่งทรัพยากร” ระหว่างภาคเศรษฐกิจต่าง ๆ

ซึ่งหมายถึง เมื่อภาค \(j\) เติบโต จะ “กดทับ” การเติบโตของภาค \(i\)

ลักษณะของสมการ:

เป็นแบบจำลอง nonlinear ODEs ที่อยู่ในรูปของ Lotka–Volterra-type competition model

การเติบโตของแต่ละภาค ขึ้นกับตัวเอง (ผ่าน \(A, I, S\))
และได้รับผลกระทบเชิงลบจากภาคอื่นผ่าน \(\lambda_{ij}\)

ตัวอย่างเชิงนโยบาย:

ถ้า \(\lambda_{AI}\) สูง \(\rightarrow\) นโยบายเร่งอุตสาหกรรมอาจทำให้ภาคเกษตรเสื่อมถอยเร็ว
ถ้า \(f_S\) สูงแต่ \(\lambda_{SI}\) สูงด้วย \(\rightarrow\) การขยายบริการอาจบั่นทอนอุตสาหกรรม (structural unbalance)

วิธีทำ การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วย caracas

ขั้นที่ 1 สร้างระบบสมการด้วย caracas

library(caracas)
# สร้างตัวแปร
# เปลี่ยน I เป็น J ทั้งหมด
lambdaAJ <- symbol("lambda_AJ", "positive" = TRUE)
lambdaAS <- symbol("lambda_AS", "positive" = TRUE)
lambdaJA <- symbol("lambda_JA", "positive" = TRUE)
lambdaJS <- symbol("lambda_JS", "positive" = TRUE)
lambdaSA <- symbol("lambda_SA", "positive" = TRUE)
lambdaSJ <- symbol("lambda_SJ", "positive" = TRUE)                  
f <- as_sym(paste0("f",1:3))
A  <- symbol("A")
J <- symbol("J")
S <- symbol("S")
# สร้างสมการ
dA <- A*(f[1]-lambdaAJ*J-lambdaAS*S)
dJ <- J*(f[2]-lambdaJA*A-lambdaJS*S)
dS <- S*(f[3]-lambdaSA*A-lambdaSJ*J)
  
Deri <- cbind(dA, dJ, dS)
Deri

\[\left[\begin{matrix}A \left(- J \lambda_{AJ} - S \lambda_{AS} + f_{1}\right) & J \left(- A \lambda_{JA} - S \lambda_{JS} + f_{2}\right) & S \left(- A \lambda_{SA} - J \lambda_{SJ} + f_{3}\right)\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 2 หา Jacobain matrix ด้วยคำสั่ง jacobian() ใน caracas

Jaco <-jacobian(Deri, list(A,J,S))
Jaco

\[\left[\begin{matrix}- J \lambda_{AJ} - S \lambda_{AS} + f_{1} & - A \lambda_{AJ} & - A \lambda_{AS}\\- J \lambda_{JA} & - A \lambda_{JA} - S \lambda_{JS} + f_{2} & - J \lambda_{JS}\\- S \lambda_{SA} & - S \lambda_{SJ} & - A \lambda_{SA} - J \lambda_{SJ} + f_{3}\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 3 จุดดุลยภาพจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย solve_sys() ใน caracas

Sol <-solve_sys(Deri, list(A,J,S))

SympifyError: S

จะพบว่า ไม่สามารถหา คำตอบ ก็ต้องกลับใช้ทักษะ ที่ควรมี ก็คือพิจารณาด้วยตนเองก่อน จะพบว่าจุดดุลภาพแรก คือ \((A^*,J^*,S^*)=(0,0,0)\) และจุดอื่นๆ คือ ถ้า พิจารณา ไม่มีค่าจุดใดเป็นศูนย์ จะได้

# สร้างสมการ
dA <- (f[1]-lambdaAJ*J-lambdaAS*S)
dJ <- (f[2]-lambdaJA*A-lambdaJS*S)
dS <- (f[3]-lambdaSA*A-lambdaSJ*J)
  
Another.SYS <- cbind(dA, dJ, dS)
Another.SYS

\[\left[\begin{matrix}- J \lambda_{AJ} - S \lambda_{AS} + f_{1} & - A \lambda_{JA} - S \lambda_{JS} + f_{2} & - A \lambda_{SA} - J \lambda_{SJ} + f_{3}\end{matrix}\right]\]

เนื่องจกสมการนี้เป็นระบบสมการเชิงเส้นควรใช้ คำสั่ง solve_lin() แก้สมการแต่ต้องจัดอยู่ในรูปเมตริกซ์ก่อน

\[\begin{bmatrix}0&-\lambda_{AJ}&-\lambda_{AS}\\-\lambda_{JA}&0&-\lambda_{JS}\\-\lambda_{SA}&-\lambda_{SJ}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\J\\S\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-f_1\\-f_2\\-f_3 \end{bmatrix}\]

mat.A <- matrix(c(0,"-lambda_JA","-lambda_SA","-lambda_AJ",0,"-lambda_SJ",
                  "-lambda_AS","-lambda_JS",0),nrow = 3)
mat.A <- as_sym(mat.A)
mat.A

\[\left[\begin{matrix}0 & - \lambda_{AJ} & - \lambda_{AS}\\- \lambda_{JA} & 0 & - \lambda_{JS}\\- \lambda_{SA} & - \lambda_{SJ} & 0\end{matrix}\right]\]

-f

\[\left[\begin{matrix}- f_{1}\\- f_{2}\\- f_{3}\end{matrix}\right]\]

Sol <- solve_lin(mat.A,-f)
Sol

\[\left[\begin{matrix}- \frac{f_{1} \lambda_{JS} \lambda_{SJ}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}} + \frac{f_{2} \lambda_{AS} \lambda_{SJ}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}} + \frac{f_{3} \lambda_{AJ} \lambda_{JS}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}}\\\frac{f_{1} \lambda_{JS} \lambda_{SA}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}} - \frac{f_{2} \lambda_{AS} \lambda_{SA}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}} + \frac{f_{3} \lambda_{AS} \lambda_{JA}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}}\\\frac{f_{1} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}} + \frac{f_{2} \lambda_{AJ} \lambda_{SA}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}} - \frac{f_{3} \lambda_{AJ} \lambda_{JA}}{\lambda_{AJ} \lambda_{JS} \lambda_{SA} + \lambda_{AS} \lambda_{JA} \lambda_{SJ}}\end{matrix}\right]\]

ที่จุดดุลยภาพเท่ากับ \((A,J,S)=(0,0,0)\) Jacobian matrix คือ

Jaco1 <- subs(Jaco, list(A=0,J=0,S=0))
Jaco1

\[\left[\begin{matrix}f_{1} & 0 & 0\\0 & f_{2} & 0\\0 & 0 & f_{3}\end{matrix}\right]\]

จากเมตริกซ์ นี้เห็นได้โดยง่ายว่า ค่า eigenvalue ทั้งหมดมีค่ามากกว่า 0 ดังนั้น ไม่เสถียร

และนำจุดดุลยภาพอีกจุดไปในแทนใน ๋Jacobian matrix เผื่อหาค่า eigenvalue จะได้เป็นคำตอบเชิงสัญลักษณ์ที่ยาว

Eigen <-eigenval(Jaco)
Eigen1 <-subs(Eigen[[1]]$eigval, list(A = Sol[1,1], 
                                      S = Sol[2,1], J = Sol[3,1]))
Eigen2 <-subs(Eigen[[2]]$eigval, list(A = Sol[1,1], 
                                      S = Sol[2,1], J = Sol[3,1]))
Eigen3 <-subs(Eigen[[3]]$eigval, list(A = Sol[1,1], 
                                      S = Sol[2,1], J = Sol[3,1]))

เหตุที่ไม่ค่าเชิงสัญลักษณ์เพราะ ยาวมาก และถ้าคำนวณด้วยมือหรือกระดาษ โอกาสผิดผลาดสูงมาก

ืทำให้การคำนวณว่า eigenvalue ในเชิงสัญลักษณ์ เป็นไปได้ยาก เพราะพิจาณาให้เห็นค่าเป็นจำนวณ หรือเชิงซ้อนทำได้ยาก จำเป็นต้องแทนตัวเลขลงที่ เพื่อวิเคราะห์

8.5.4 แบบจำลอง SIRV ทางเศรษฐศาสตร์พฤติกรรม

แบบจำลองที่คุณให้มาเป็น SIRV model ซึ่งขยายมาจากแบบจำลองโรคระบาด (SIR model) เพื่ออธิบายการแพร่กระจายของ พฤติกรรม แทนโรค โดยมีการเพิ่มกลุ่มที่ ติดพฤติกรรมอย่างถาวร (\(V\)) เข้าไป เช่น พฤติกรรมการใช้จ่ายอย่างไม่ระวัง การเสพติดบางอย่าง ฯลฯ

แบบจำลอง

\[ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \nu I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \\ \frac{dV}{dt} = \nu I \end{cases} \]

\(S\) = กลุ่มที่ยังไม่รับพฤติกรรม
\(I\) = กลุ่มที่กำลังมีพฤติกรรม
\(R\) = กลุ่มที่เลิกพฤติกรรมแล้ว
\(V\) = กลุ่มที่มีพฤติกรรมถาวร (เช่น ติดการใช้จ่ายแบบฟุ่มเฟือย)

คำอธิบายพารามิเตอร์

สัญลักษณ์	ความหมาย	หน่วย (โดยนัย)	ความหมายเชิงพฤติกรรม
\(\beta\)	อัตราการแพร่พฤติกรรม	ต่อคนต่อเวลา	ความรุนแรงของการชักจูง เช่น การโน้มน้าวจากคนรอบข้างหรือโฆษณา
\(\gamma\)	อัตราการเลิกพฤติกรรม	ต่อเวลา	ความเร็วที่บุคคล กลับตัว หรือหยุดพฤติกรรม เช่น เลิกใช้จ่ายฟุ่มเฟือย
\(\nu\)	อัตราการกลายเป็นผู้มีพฤติกรรมถาวร	ต่อเวลา	โอกาสที่บุคคลจะ ติดพฤติกรรม จนเปลี่ยนแปลงนิสัยแบบถาวร เช่น กลายเป็นนักช็อปตลอดชีวิต

ความสัมพันธ์ของสมการ

พฤติกรรมเริ่มแพร่จาก \(S\) \(\rightarrow\) \(I\) ผ่านการปฏิสัมพันธ์ (\(\beta SI\))
ผู้มีพฤติกรรม (\(I\)) สามารถ เลิก ได้ (\(\gamma I\) \(\rightarrow\) \(R\)) หรือ ติดถาวร ได้ (\(\nu I\) \(\rightarrow\) \(V\))
ไม่มีการกลับจาก \(R\) หรือ \(V\) ไปสู่ \(I\) หรือ \(S\) (ในโมเดลนี้ถือว่าถาวร)

วิธีทำ การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วย caracas

ขั้นที่ 1 สร้างระบบสมการด้วย caracas

library(caracas)
# สร้างตัวแปร
beta<- symbol("beta", "positive" = TRUE)
gamma <- symbol("gamma", "positive" = TRUE)
nu <- symbol("nu", "positive" = TRUE)
S <- symbol("S")
# เปลี่ยน I เป็น J ทั้งหมด
J <- symbol("J")
R <- symbol("R")
V <- symbol("V")
# สร้างสมการ
dS <- -beta*S*J 
dJ <-  beta*S*J -gamma*J -nu*J
dR <-  gamma*J
dV <-  nu*J
  
Deri <- cbind(dS, dJ, dR, dV)
Deri

\[\left[\begin{matrix}- J S \beta & J S \beta - J \gamma - J \nu & J \gamma & J \nu\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 2 หา Jacobain matrix ด้วยคำสั่ง jacobian() ใน caracas

Jaco <-jacobian(Deri, list(S, J, R, V))
Jaco

\[\left[\begin{matrix}- J \beta & - S \beta & 0 & 0\\J \beta & S \beta - \gamma - \nu & 0 & 0\\0 & \gamma & 0 & 0\\0 & \nu & 0 & 0\end{matrix}\right]\]

ขั้นที่ 3 จุดดุลยภาพจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย

solve_sys(Deri, list(S, J, R, V))

SympifyError: S

ระบบสมการนี้ caracas ไม่สามารถแก้ได้

ถ้าวิเคราะห์เอง จะพบว่าระบบสมการจะเป็นศูนย์ เมื่อ I=0 ส่งผลตัวแปรอื่นๆ มีค่าเป็นอะไรก็ได้

คำนวณค่า

Eigen <- eigenval(Jaco)

ค่า eigenvalue มีค่าเท่ากับ 0 อยู่ 2 ค่า และ eigenvalue ตัวอื่นเท่ากับ

Eigen[[1]]$eigval

\[- \frac{J \beta}{2} + \frac{S \beta}{2} - \frac{\gamma}{2} - \frac{\nu}{2} - \frac{\sqrt{J^{2} \beta^{2} - 2 J S \beta^{2} - 2 J \beta \gamma - 2 J \beta \nu + S^{2} \beta^{2} - 2 S \beta \gamma - 2 S \beta \nu + \gamma^{2} + 2 \gamma \nu + \nu^{2}}}{2}\]

Eigen[[2]]$eigval

\[- \frac{J \beta}{2} + \frac{S \beta}{2} - \frac{\gamma}{2} - \frac{\nu}{2} + \frac{\sqrt{J^{2} \beta^{2} - 2 J S \beta^{2} - 2 J \beta \gamma - 2 J \beta \nu + S^{2} \beta^{2} - 2 S \beta \gamma - 2 S \beta \nu + \gamma^{2} + 2 \gamma \nu + \nu^{2}}}{2}\]

Eigen[[3]]$eigval

\[0\]

8.6 แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงอนุพันธ์

8.6.1 I. วิเคราะห์เสถียรภาพ + Jacobian (เหมาะกับ `caracas`)

ระบบ: \[\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + 4y \end{cases}\] หาจุดสมดุล, Jacobian matrix, eigenvalue และวิเคราะห์เสถียรภาพ
ระบบ: \[\frac{dx}{dt} = x(1 - y),\quad \frac{dy}{dt} = y(x - 2)\] หา Jacobian ที่จุดสมดุล และตรวจสอบเสถียรภาพ
ระบบ: \[\frac{dx}{dt} = y,\quad \frac{dy}{dt} = -\sin(x) - 0.1y\] หาจุดดุลยภาพ (เชิงตัวเลข), หา Jacobian โดยประมาณด้วย caracas
ระบบ Lotka–Volterra: \[\frac{dR}{dt} = aR - bRF,\quad \frac{dF}{dt} = -cF + eRF\] ใช้ caracas เพื่อหา Jacobian ที่จุดสมดุล
\[ \frac{dx}{dt} = x(2 - x - y),\quad \frac{dy}{dt} = y(3 - x - y) \] หาจุดตัด nullclines และวิเคราะห์ Jacobian ที่แต่ละจุด

8.6.2 II. วิเคราะห์ด้วย `eigen()` หรือ `caracas::eigenvals()`

ให้ Jacobian: \[J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\] หาค่า eigenvalues และวิเคราะห์ลักษณะ trajectory
เมตริกซ์ระบบ: \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}\]

ใช้ eigen() วิเคราะห์เสถียรภาพของจุดดุลยภาพ

\[ \frac{dx}{dt} = y,\quad \frac{dy}{dt} = -x - y \] เขียนระบบเป็นเมตริกซ์ แล้วใช้ eigen() วิเคราะห์จุดสมดุล
\[ \frac{dx}{dt} = 5x + y,\quad \frac{dy}{dt} = -x + 2y \] หาค่า eigenvalues และประเภทของจุดดุลยภาพ

\[ \frac{dp}{dt} = \lambda(p^e - p),\quad \frac{dp^e}{dt} = \gamma(p - p^e) \] แปลงเป็นระบบเมตริกซ์ และหา eigenvalues ของระบบ

8.6.3 III. ใช้ `phaseR` วิเคราะห์ flow field, nullclines, trajectory

\[ \frac{dx}{dt} = y,\quad \frac{dy}{dt} = -x \] ใช้ phaseR::flowField() และ trajectory() จากจุด \((1, 0)\)
\[ \frac{dx}{dt} = x - y^2,\quad \frac{dy}{dt} = y + x^2 \] ใช้ nullclines() เพื่อหาจุดตัด และ flowField() เพื่อแสดงพฤติกรรม
\[ \frac{dx}{dt} = x(1 - x - y),\quad \frac{dy}{dt} = y(2 - x - y) \] ใช้ flowField() เพื่อวิเคราะห์การกระจายของ trajectory
\[ \frac{dx}{dt} = -2x + y,\quad \frac{dy}{dt} = -x - y \] วาด phase portrait พร้อม trajectory จากหลายจุดเริ่มต้น
\[ \frac{dx}{dt} = -x + y,\quad \frac{dy}{dt} = -2x - y \] วาด nullclines + เส้นวิถีจากจุดเริ่ม \((2, 0)\)
ให้ระบบทั่วไป \[ \frac{dx}{dt} = ax + by,\quad \frac{dy}{dt} = cx + dy \] เขียนฟังก์ชันใน R ที่รับ \(a, b, c, d\) แล้วคำนวณ eigenvalues อัตโนมัติ
\[ \frac{dx}{dt} = x + y,\quad \frac{dy}{dt} = -x + y \] หาค่า eigenvalue และใช้ phaseR วิเคราะห์ flowField

8.1 นิยาม

8.1.1 จุดดุลยภาพ (Equilibrium Point)

8.1.2 ประเภทของระบบ ODE:

8.1.3 การวิเคราะห์ Phase diagram ด้วยอาร์โดยใช้ชุดคำสั่ง phaseR

8.2 ตัวอย่างสมการและระบบสมการเชิงอนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์:

8.2.1 Price Adjustment Model (Adaptive Expectations)

8.3 แบบจำลองคือ

8.3.1 Solow Growth Equation (Capital Accumulation)

8.3.2 IS–LM Dynamic Model

8.3.3 Goodwin Growth Cycle Model (โมเดลวัฏจักรเศรษฐกิจด้านแรงงานกับทุน)

8.4 การวิเคราะห์จุดดุลยภาพสำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไป

8.5 ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไปในทางเศรษฐศาสตร์

8.5.1 แบบจำลอง IS–LM–PC (New Keynesian Model)

8.5.2 ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบจำลอง Goodwin

8.5.3 แบบจำลองสามกลุ่มเศรษฐกิจ (3-sector Growth Model)

8.5.4 แบบจำลอง SIRV ทางเศรษฐศาสตร์พฤติกรรม

8.6 แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงอนุพันธ์

8.6.1 I. วิเคราะห์เสถียรภาพ + Jacobian (เหมาะกับ caracas)

8.6.2 II. วิเคราะห์ด้วย eigen() หรือ caracas::eigenvals()

8.6.3 III. ใช้ phaseR วิเคราะห์ flow field, nullclines, trajectory

8.6.1 I. วิเคราะห์เสถียรภาพ + Jacobian (เหมาะกับ `caracas`)

8.6.2 II. วิเคราะห์ด้วย `eigen()` หรือ `caracas::eigenvals()`

8.6.3 III. ใช้ `phaseR` วิเคราะห์ flow field, nullclines, trajectory