2.2 Estadística inferencial: Intervalos de confianza y pruebas de hipótesis en gestión de riesgos.
En toda prueba de hipótesis, implícita o explícitamente se cubren los siguientes puntos:
2.2.1 Planteamiento de las hipótesis
- Hipótesis nula (\(H_0\)): Afirmación que se quiere poner a prueba; generalmente representa la ausencia de efecto, diferencia o relación.
- Hipótesis alternativa (\(H_1\) o \(H_a\)): Afirmación que se aceptaría si se rechaza \(H_0\); representa la existencia de un efecto, diferencia o relación.
2.2.2 Elección del nivel de significancia (\(\alpha\))
- Es la probabilidad máxima de cometer un error tipo I (rechazar \(H_0\) cuando es verdadera).
- Comúnmente se usa \(\alpha = 0.05\), aunque puede variar según el contexto (por ejemplo, \(\alpha = 0.01\) en estudios médicos).
2.2.3 Selección del estadístico de prueba
Depende del tipo de variable y del contraste planteado:
- \(t\)-student para medias (cuando la varianza poblacional es desconocida).
- \(z\) para proporciones o medias (cuando la varianza es conocida).
- \(\chi^2\) para variables categóricas (pruebas de independencia o bondad de ajuste).
- \(F\) para comparar varianzas o modelos (ANOVA, regresión).
2.2.4 Distribución del estadístico bajo \(H_0\)
- Determina cómo se comporta el estadístico si la hipótesis nula es verdadera.
- Se utiliza para obtener el valor crítico o el p-valor.
2.2.5 Criterio de decisión
- Valor crítico: Se compara el estadístico con un umbral derivado de la distribución teórica.
- P-valor: Probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado, bajo \(H_0\).
- Si \(\text{p-valor} < \alpha\), se rechaza \(H_0\).
- Si \(\text{p-valor} \geq \alpha\), no se rechaza \(H_0\).
2.2.6 Conclusión
- La conclusión debe estar formulada en el contexto del problema.
- Nunca se dice que \(H_0\) es “verdadera”, sino que no hay suficiente evidencia para rechazarla.
2.2.7 7. Errores posibles
- Error tipo I (\(\alpha\)): Rechazar \(H_0\) siendo verdadera.
- Error tipo II (\(\beta\)): No rechazar \(H_0\) siendo falsa.
- Poder de la prueba: \(1 - \beta\), probabilidad de detectar un efecto si realmente existe.
Matriz de confusión adaptada a pruebas de hipótesis
| Realidad: \(H_0\) verdadera | Realidad: \(H_0\) falsa | |
|---|---|---|
| Decisión: No rechazar \(H_0\) | Verdadero negativo (decisión correcta) | Error tipo II (falso negativo) |
| Decisión: Rechazar \(H_0\) | Error tipo I (falso positivo) | Verdadero positivo (decisión correcta) |
Interpretación de cada celda
| Término | Significado |
|---|---|
| Error tipo I | Rechazar \(H_0\) cuando en realidad es cierta. |
| Error tipo II | No rechazar \(H_0\) cuando en realidad es falsa. |
| Verdadero negativo | Decidir no rechazar \(H_0\) y que efectivamente \(H_0\) sea verdadera. |
| Verdadero positivo | Rechazar \(H_0\) y que efectivamente \(H_0\) sea falsa. |
Probabilidades asociadas
| Concepto | Símbolo | Definición |
|---|---|---|
| Nivel de significancia | \(\alpha\) | Probabilidad de cometer un error tipo I. |
| Poder de la prueba | \(1 - \beta\) | Probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) es falsa (acierto). |
| Error tipo II | \(\beta\) | Probabilidad de no rechazar \(H_0\) cuando es falsa. |
Conexión con la matriz de confusión en clasificación
| Realidad / Predicción | Clase negativa (0) | Clase positiva (1) |
|---|---|---|
| Verdadero negativo | Predijo 0, era 0 | |
| Falso positivo | Predijo 1, era 0 | (Error tipo I) |
| Falso negativo | Predijo 0, era 1 | (Error tipo II) |
| Verdadero positivo | Predijo 1, era 1 |
En pruebas de hipótesis: - La “predicción” corresponde a la decisión estadística (rechazar o no rechazar \(H_0\)). - La “realidad” corresponde al estado verdadero de \(H_0\) (si es verdadera o falsa).
Los elementos a considerar en una prueba de hipótesis son:
| Elemento | Descripción breve |
|---|---|
| Hipótesis \(H_0\), \(H_a\) | Planteamiento formal del contraste |
| Nivel de significancia | Umbral de decisión (\(\alpha\)) |
| Estadístico de prueba | Valor numérico basado en la muestra |
| Distribución bajo \(H_0\) | Base para calcular el p-valor o valor crítico |
| Regla de decisión | Comparación entre estadístico/p-valor y \(\alpha\) |
| Conclusión | Aceptar o rechazar \(H_0\), con interpretación contextual |
| Análisis de errores | Consideración de errores tipo I, tipo II y poder estadístico |